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摘 要

：Erdos, Graham, Spencer 提出研究满足下列性质的最小实数：对任意正整数序列, 若且， 则这一和式一定可以分成部分，使得每一部分都. 目前国际上研究的最佳结果为.在本文中,我们证明.

关键词：Erdos- Graham- Spencer猜想, 倒数和,分划

Abstract: Erdos, Graham, Spencer asked the following question on the least real number such that: for any positive integers with and this sum can be decomposed into n parts so that all partial sums are . The best result on the problem in the world at present was . The primary result of this thesis was .

Keywords: Erdos- Graham- Spencer conjecture, reciprocal sum, partition.

目　　录

1　引言……………………………………………………………………………4

2　文献综述………………………………………………………………………4

2.1　EGS问题研究历程…………………………………………………………5

3　一些引理………………………………………………………………………6

4　算法和主要结果………………………………………………………………8

4.1　算法…………………………………………………………………………8

4.2 待检验序列集分解…………………………………………………………9

4.3 主要结果……………………………………………………………………9

4.3.1 的计算………………………………………………………………9

参考文献…………………………………………………………………………12

1　引言

1980年， 匈牙利数学家、沃尔夫奖得主Erdos P提出了下列问题： ([2], p. 41) 对任意正整数序列, 若， 是否一定可以将这一序列分成部分，使得每一部分倒数和都？ Sandor C很快给出了否定回答. 但这一问题开始了组合数论中一类新问题的研究. 此类问题中一个关键猜想是由Erdos, Graham, Spencer提出的,因此我们称之为Erdos-Graham-Spencer问题,简称为EGS问题.

定义1.1 在本文中,我们称满足下列性质的最小实数为EGS常数:对任意正整数序列, 若且， 则一定可以将这一序列分成部分，使得每一部分倒数和都.

Sandor C证明EGS常数对任意都存在,并给出了上下界[3].

定理1.1 , .

这一上界是比较大的. 目前国际上的最佳结果为(参见[1][4][5]):

定理1.2 , .

在本文中,我们证明:

定理1.3 .

本文是这样组织的: 在第2节中我们对研究背景和相关文献做了一个综述,在第3节中给出了需要用的的一些引理,在第4节中给出了主要结果.

在本文中,为方便起见, 我们提到的所有序列均为有限个元素的正整数序列, 且假设.

2 文献综述

2.1　EGS问题研究历程

1980年， 匈牙利数学家、沃尔夫奖得主Erdos P提出了下列问题： ([2], p. 41) 对任意正整数序列, 若， 是否一定可以将这一序列分成部分，使得每一部分倒数和都？

Sandor C对的情形给出了反例, 从而对这一问题作出了否定回答.

例2.1.1 120除1,120以外的所有正因子: 2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60. 以上整数的倒数和为, 但对这一序列的任一分划,都至少有一部分倒数和gt;1.

对一般的, Sandor C证明反例总是存在的[3] .

定理2.1 对任意的, 都存在正整数序列满足， 但将这一序列分成部分,都至少有一部分倒数和gt;1.

这一定理同时也说明EGS常数, .在[3]中, Sandor C也证明了EGS常数对 总存在,并给出了上界.事实上,他对实数序列证明了下述定理.

定理2.2 令 , 对任意的全体大于1的正实数序列, 如其满足， 则一定可将这一序列分成部分,使每一部分倒数和都.

当序列限制在正整数序列时, Sandor C证明了更强的上界.

定理2.3 令 , 对任意的实数序列,满足， 则一定可将这一序列分成部分,使每一部分倒数和都.

推论2.1 ,.

在定理2.1和定理2.2的证明中, Sandor C使用了解析数论的一些估计的办法.在定理2.3的证明中, Sandor C则综合运用了解析数论中的方法和组合数学中的研究技巧.

对这一问题, Erdos, Graham, Spencer提出了下列猜想(这一猜想现已被否定).

猜想2.1 ,.

他们也给出例子说明,.

例2.2 .

此后的研究中,研究者主要的思路是希望证明 Erdos-Graham-Spencer猜想是正确的,在研究方案上则比较多的运用解析数论方法和组合技巧逐步缩小的上界.其中最新的重要研究结果是南京师范大学的陈永高教授和其合作者在[1],[4]中给出的.

定理2.4, .

定理2.5, .

但是这样的研究进展艰难并且缓慢.在试图部分证明Erdos-Graham-Spencer猜想时,使用归纳法和解析技巧,陈永高教授还给出了这一结果:

定理2.6如果对和最大值的正整数序列, Erdos-Graham-Spencer猜想是正确的, 那么对所有情形Erdos-Graham-Spencer猜想都是正确.

但是在2008年,郭嵩老师在[5]中指出Erdos-Graham-Spencer猜想是错误的.他给出了一个反例,并由此得到:

定理2.7, .

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