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摘 要

本文主要总结了积分中值定理形式、推广的积分中值定理、积分中值定理的应用及对定理中积分中值点的再认识.第二章主要总结了积分第一中值定理、推广的积分第一中值定理、积分第二中值定理及积分第二中值定理的推论，然后分析了积分中值定理各种形式的联系和区别,最后研究讨论了加强积分第一中值定理条件后使中值点属于开区间(a,b)并利用结论解决一些实际的数学问题.第三章主要总结归纳积分中值定理的应用，这些应用主要是：一、求函数在一个区间上的平均值；二、估计定积分的值；三、求含有定积分的极限；四、确定积分的符号；五、证明不等式；六、证明中值的存在性命题；七、证明函数的单调性.通过一些典型例题说明应用积分中值定理解决问题.

关键词：积分中值定理，推广，中值点，应用

Abstract：This paper mainly summarizes the forms of the mean value theorem of integral, generalized integral mean value theorem, the application of mean value theorem for integrals and the theorem of integral mid value point in understanding. The second chapter mainly summarizes the first mean value theorem of integral, the generalized first integral mean value theorem and the second integral mean value corollary of theorem and the second integral mean value theorem, and then analyzes the relation and difference between the mean value theorem for integrals in various forms. At the end of the study discussed strengthen after the first integral mean value theorem, the median point belongs to the open interval (a, b) and the conclusion to solve some practical mathematical problems. Chapter three mainly summarized the application of mean value theorem for integrals. These applications mainly : demand function in a range of average value; secondly, estimated values of the definite integral; thirdly, seek containing definite integral limit; determine the integral symbol; fifthly, to prove the inequality; sixthly, proof of the value of the exist of proposition; seven to prove the monotonicity of the function. Through some typicalexamples illustrate application of integral mean value theorem to solve the problem.

Keywords： Integral mean value theorem, generalization, mean value point, application

目录

1 引言…………………………………………………………………………4

2 积分中值定理………………………………………………………………4

2.1 积分第一中值定理及推广…………………………………………………4

2.2 积分第二中值定理及推论…………………………………………………4

2.3 各种形式积分中值定理的联系和区别……………………………………5

2.4 关于积分中值定理中值点的一个问题及应用…………………………5

3 积分中值定理应用…………………………………………………………7

3.1 求函数在一个区间上的平均值……………………………………………7

3.2 估计定积分的值……………………………………………………………8

3.3 求含有定积分的极限………………………………………………………8

3.4 确定积分的符号……………………………………………………………9

3.5 证明不等式…………………………………………………………………10

3.6 证明中值的存在性命题……………………………………………………11

3.7 证明函数的单调性…………………………………………………………12

结论……………………………………………………………………………13

参考文献………………………………………………………………………14

致谢……………………………………………………………………………15

1 引言

积分中值定理是数学分析中的主要定理之一，同时也是定积分的一个主要性质，它建立了积分与被积函数之间的关系，从而我们通过被积函数的性质来研究积分的性质，有较高的理论价值和广泛的应用.本文就其在解题中的应用主要有求函数在一个区间上的平均值，估计定积分的值，求含有定积分的极限，确定积分的符号，证明不等式，证明积分不等式，证明中值的存在性命题，证明函数的单调性及对定理的中值点的再认识进行讨论.

1.1 课题应达到的目标

本课题的主要目标是通过研究和分析积分中值定理，对积分中值定理的各方面应用如：求函数在一个区间上的平均值，估计定积分的值，求含有定积分的极限，证明积分不等式，证明中值的存在性命题，证明函数的单调性进行总结归纳.并对定理中的中值点作进一步的讨论研究以及其对解决一类问题的应用.通过本课题研究更加清晰学习积分中值定理，有助于我们建立更系统的知识结构.

1.2 课题的任务与要求

本课题主要任务有：一、查找文献；二、掌握不同类型的积分中值定理的形式以及定理中值点的再认识；三、总结积分中值定理的应用.要求归纳总结不同类型的积分中值定理形式，对中值点有深一步的认识，最后总结积分中值定理在数学解题中的应用.

2 积分中值定理

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