论文总字数：4284字

摘 要

关键词：逆矩阵，分块矩阵，类三角矩阵，型矩阵，循环矩阵，范德蒙矩阵

Abstract：In this paper, according to the definition and properties of invertible matrix, the matrices of several commonly used methods about the inverse of invertible matrix were summed up , the five kinds of special matrices’ inverse matrix that the 22 block matrix, triangular matrix, zero-one matrix, the cyclic matrix and Vandermonde matrix were gived.

Keywords: inverse matrix, block matrix, triangular matrix, zero-one matrix,circulant matrix, vandermonde matrix

目 录

1 可逆矩阵的定义和性质………………………………………………………4

1.1 可逆矩阵的定义和判定……………………………………………………4

1.2 可逆矩阵的性质……………………………………………………………4

2 逆矩阵的一些常见求法………………………………………………………5

2.1 利用定义求逆矩阵………………………………………………………… 5

2.2 由伴随矩阵求逆矩阵……………………………………………………… 5

2.3 由初等变换求逆矩阵……………………………………………………… 6

2.4由Hamilton-Cayley定理求逆矩阵 ……………………………………………7

2.5 运用解方程组法求逆矩阵………………………………………………… 7

2.6 分解矩阵求逆矩阵 …………………………………………………………8

3 几类特殊矩阵的逆矩阵 ………………………………………………………8

3.1 分块矩阵的逆矩阵 ……………………………………………………8

3.2 类三角矩阵的逆矩阵 ………………………………………………………9

3.3 型矩阵的逆矩阵……………………………………………………… 11

3.4 一类特殊循环矩阵的逆矩阵………………………………………………13

3.5 范德蒙矩阵的逆矩阵………………………………………………………14

结论………………………………………………………………………………17

参考文献…………………………………………………………………………18

矩阵是高等代数的一个最基本的概念，而在矩阵理论中较为基础的就是求矩阵的逆矩阵.本文在逆矩阵的一些常见求法基础上，归纳了几类特殊矩阵的逆矩阵，并对此进行研究.

1 可逆矩阵的定义和性质

1.1 可逆矩阵的定义和判定　　

定义1 设是数域上的级方阵，如果存在数域上的级方阵，使得，这里是级单位矩阵，则称是可逆矩阵，称为的逆矩阵并记为，即.

　　注1 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，且与为同阶方阵，即.

定理1 设矩阵为可逆矩阵，则以下几个命题是等价的,

1. 矩阵的行列式；
2. 矩阵的伴随矩阵可逆；
3. 矩阵的伴随矩阵的行列式；
4. 矩阵的秩为；
5. 矩阵与单位矩阵等价(对矩阵施行初等变换可以使矩阵转化为单位矩阵)；
6. 以矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组的解唯一；
7. 矩阵可表示为一些初等矩阵的乘积；
8. 矩阵的特征值均不为0.　

1．2 可逆矩阵的性质

设是数域上的级方阵，若是可逆的，则

（1）也可逆且；

（2）也可逆且；

（3）数，则也可逆且；

（4）；

（5）若级矩阵也可逆，则也可逆且，则

，，

皆可逆，且

；

；

（6）若可逆，又因为，则

，,

皆可逆，且

,

.

2 逆矩阵的一些常见求法

2．1 利用定义求逆矩阵

利用定义对于级方阵，存在级方阵，使得求逆矩阵，这种方法通常出现在关于的关系式中，可通过恒等变形，变为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.此时，根据定义就可求出逆矩阵.

例1 已知级矩阵满足,证明可逆并求出.

证明 可变形为,即,又即

,所以存在矩阵,使得，根据条件即

.

2．2 由伴随矩阵求逆矩阵

定义2设是矩阵

,

中元素的代数余子式，矩阵

,

称为的伴随矩阵.

定理2级矩阵可逆的充分必要条件是 ，且.

注2 （1）中元素不是矩阵中的余子式，计算时勿遗漏；

（2）元素位于中第行第列，而不是第行第列；

（3）此方法对任何可逆矩阵都适用，但计算量大只用于较低阶的矩阵的求逆.

2．3 由初等变换求逆矩阵

求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，特别是在方阵阶数较高时，常用初等变换法.

如果可逆，作一个的矩阵，然后对此矩阵施以初等行变换，使矩阵化为单位矩阵，则即化为，即.

如果可逆，作一个的矩阵，然后对此矩阵施以初等列变换，使矩阵化为单位矩阵，则即化为，即.

进一步地，可以构造矩阵，然后对经过有限次的行、列初等变换后，使矩阵，即.

2．４ 由Hamilton-Cayley定理求逆矩阵

定理3 设是数域上一个级矩阵，是的特征多项式，则.

若可逆，则由Hamilton-Cayley定理得，，所以，所以.利用Hamilton-Cayley定理可以求逆矩阵.

例2 求可逆矩阵的逆矩阵.

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