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摘 要

矩阵在经济规划和管理中有着广泛的应用，只要经济工作者把复杂的数据列成矩阵，那么对于决策和简化计算都有极大的好处．本文在矩阵理论的基础上，引出了矩阵的一系列重要的经济管理方面的应用，借以说明矩阵工具的实用价值．

关键词：矩阵，经济，管理

Abstract：Matrix has been widely used in economic planning and management, as long as the economic worker tabulate complex data into matrices, then for decision-making and simplified calculation has great benefits. In this paper, based on matrix theory, it leads to a series of important economic management applications of the matrix, in order to illustrate the practical value of matrix tool.

Keywords: matrix,economic,management

目　　录

1　引言……………………………………………………………………………4

2　矩阵理论的框架………………………………………………………………4

2.1　矩阵的概念…………………………………………………………………4

2.2　矩阵的运算…………………………………………………………………4

2.3　转置矩阵……………………………………………………………………5

2.4　伴随矩阵……………………………………………………………………6

2.5　矩阵的逆……………………………………………………………………7

3　矩阵在经济管理方面的应用…………………………………………………7

3.1　在简单供求模型中的应用…………………………………………………7

3.2　在简单凯恩斯国民收入模型中的应用……………………………………8

3.3　在希克斯－汉森模型：封闭经济中的应用………………………………9

3.４　在投入产出模型中的综合应用…………………………………………10

结论………………………………………………………………………………13

参考文献…………………………………………………………………………14

致谢………………………………………………………………………………15

1　引言

金融危机使得经济学更加受到重视，为了更好的学习经济学就必须去了解相关的经济学模型，而这一切都要建立在数学知识的熟练运用上. 矩阵理论是数学的一大分支，最早是为了求解线性方程组而提出，但经过多年的发展,矩阵理论发展出了许多分支，成为了一些学科的理论基础与重要工具.随着计算机与信息技术的快速发展，矩阵理论已经广泛应用在如工程计算、经济管理物流等领域，在生产实践中的应用越来越广泛，为社会发展和科技进步做出了巨大贡献．

有许多学者运用矩阵理论在经济管理学相互关系的研究与讨论中，发表了许多文献^[1-5]，其中有许多经典结论，在经济管理学的研究和发展中发挥了巨大的推动作用. 近年来国内的一些研究成果如徐丛春等人^[6]给出的基于波士顿矩阵的广东省海洋产业竞争力评价研究，吴红艳在^[7]中提到的矩阵在现代企业管理中的应用等.

本文通过查阅文献，搜集资料，对矩阵工具在经济管理问题中的应用做了一些总结，希望能够总结规律,为更好地发挥矩阵这一数学工具在经济管理问题中的作用提供帮助.本文重点总结了几种经济学模型，以此来说明矩阵在经济管理问题中的重要性。本文的第二节介绍了矩阵理论的框架．在第三节中列举了矩阵在经济管理问题中的不同应用，以便更好的理解矩阵在经济管理问题中的重要性和实用性．

2　矩阵理论的框架

2.1　矩阵的概念

　　由个数排成行列的数表

A=

称为行列矩阵,简称矩阵，可记作或，称为矩阵的元素．

2.2　矩阵的运算

　　矩阵的运算是高等代数线性代数的一个基本内容，根据本论文的需要，这里只简单介绍矩阵的加法和乘法两种基本运算．

　　定义1　设和是两个同型矩阵，则

，称为矩阵与的和，记为

　　定义2　对于矩阵称矩阵为的负矩阵，记为．显然，有

矩阵的加法运算满足下列运算定律

1. 交换律　
2. 结合律　
3. 零矩阵的作用　
4. 负矩阵的作用　

　　定义3　设有矩阵与矩阵，则矩阵，其中，称为与的乘积，记为．

　　矩阵的乘法运算有以下几个特点

1. 矩阵与矩阵的乘积矩阵的元素事实上是矩阵的第i行元素与矩阵的第j列对应元素的乘积之和，从而决定的行数必须等于的行数．
2. 乘积矩阵的行数等于矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于矩阵的列数．
3. 矩阵的乘法不满足交换律，即，但这不是绝对的，在有些情况下，与还是可以相等，比如与都是对角矩阵．

例如

，

,

所以

1. ，这说明两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即，不能推出或．
2. ,但是，这说明矩阵的乘法不满足消去律．

矩阵乘法满足的运算定律：

（1）

3. (左乘分配律), （右乘分配律）

2.3　矩阵的转置

　　把一个矩阵的行列依次互换，所得的矩阵称为的转置，记为.可确切地定义如下．

　　定义4　已知s行n列矩阵

将行列互换，所得到的矩阵称为的转置矩阵，记作,即

矩阵的转置也是一种运算，可以证明，矩阵的转置满足以下运算规律

（1）

（2）

（3）

（4）

2.4　伴随矩阵

　　定义1　阶行列式

的某一元素的余子式指的是在中划去所在行和列后所余下的阶子式。

　　定义2　n阶行列式的元素的余子式附以符号后，叫做元素的代数余子式。

元素的代数余子式用符号来表示：

把矩阵

叫做矩阵的伴随矩阵

　　设为n阶矩阵()，为单位矩阵，为的伴随矩阵，为的行列式，则有.

2.5　矩阵求逆

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