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摘 要

：介值问题是微积分的重要要研究对象之一，贯穿于微积分的整个内容，在微积分理论及应用中，介值问题占有重要的地位．总结归纳微积分中的介值问题，对微积分的学习无疑有十分重要的意义．微分中值定理不仅是微积分的基本定理，也是微积分的理论核心，在微积分中起着极其重要的作用．本课题将根据罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式等，结合几类典型的问题，阐述介值问题在解题中的应用．

关键词：介值问题，微积分，应用

Abstract：Intermediate value problems are calculus is an important to the research object, through to the entire contents of calculus, in the theory and application of calculus, intermediate value problems plays an important role. Summarize the calculus of inductive value problem, the learning of calculus undoubtedly has a very important significance. Differential mean value theorem is not only the fundamental theorem of calculus, and calculus theory core, in calculus plays a extremely important role in application. This paper will according to the Rolle theorem, Lagrange mean value theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor formula, combined with several typical problems, elaborates the dielectric value problem in problem solving.

Keywords： medium value problem, calculus, application

目　　录

1 引言………………………………………………………………………………4

2 预备知识…………………………………………………………………………4

2.1介值问题相关定理………………………………………………………………4

3 介值问题的应用…………………………………………………………………5

3.1在证明恒等式中的应用……………………………………………………5

3.2在证明不等式中的应用……………………………………………………9

3.3在讨论方程的实根中的应用………………………………………………12

结论…………………………………………………………………………………16

参考文献……………………………………………………………………………17

1 引言

古希腊时代，人们就对微分中值定理的相关内容有了大概的认识．十七世纪中叶，随着经济的发展，科技的进步，微积分应运而生．

通过对微积分的学习我们知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容．一些非常重要的定理都含有介值，介值在这些定理中起到很重要的作用．微分中值定理是一系列中值定理的总称，中值定理有四个：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理．柯西中值定理，泰勒定理．中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是联系局部和整体的纽带，是微积分学应用以及自身发展的理论基础，因此说中值定理是微分学的基本定理．　　

本文介绍了介值在微积分解题中的应用，并讨论了在应用微分中值定理时对辅助函数的构造问题．通过大量实例进行归纳分析，论述了微分中值定理在证明恒等式、不等式以及根的存在性等方面的应用，以便更深刻地掌握微分中值定理并进行灵活运用.

2 预备知识

2.1 介值问题相关定理

定理1 设函数在闭区间上连续，且．若为介于与之间的任何实数或，则至少存在一点，使得

．

定理2 若函数满足如下条件：

(1)在闭区间上连续；

(2)在开区间内可导；

(3)，

则在内至少存在一点，使得

．

定理3　若函数满足如下条件：

(1)在闭区间上连续；

(2)在开区间内可导，

则在内至少存在一点，使得．

定理4　设函数和满足

(1)在上都连续；

(2)在内都可导；

(3)和不同时为零；

(4)，

则存在，使得

．

定理5　设函数在点的某领域上有定义，且在点可导．若点为的极值点，则必有

　　　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　

3　介值问题的应用

3.1　介值问题在证明恒等式中的应用

例1　设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，

，证明：存在，使得.

证明　设，则.只要能找到，使得

.

因为此时，也就是要找，使得.

设在内的最大值为，且.

（1）若，取，则,

（2）若，则有，从而有

,

由根的存在性定理知，必存在之间的点，当然，使得.

例2　设函数在上可导，，求证：存在，使

得.

证明 因为，所以由介值定理知，必存在，使得.

利用微分中值定理，存在，使得

，

则

,

利用微分中值定理，存在，使得

，

则

,

所以

.

例3　设函数在上可导，，求证：存在，使得.

证明 因为，所以由介值定理知，必存在，使得.

利用微分中值定理，存在，使得

，

则

,

利用微分中值定理，存在，使得

，

则

,

所以

.

例4　设函数在上可导，，求证：对于任意正的常数，存在，使得.

证明 因为，所以由介值定理知，必存在，.

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