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摘 要

关键词: Riemann-Liouville分数阶积分，Hermite-Hadamard不等式，调和凸函数,分数阶积分

Abstract: In this paper, we studied a class fractional inequality by using the Hadamard fractional integral and Hermite-Hadamard Inequality. Our results generalize the corresponding results of Iscan and Wu.

Keywords: Riemarm-Liouville fractional integral, Hermite-Hadamard Inequality, Harmonically convex functions, Fractional integrals

目 录

1 引言 4

2 预备知识 5

3 主要结果 6

结论 13

参考文献 14

1 引言

本文主要研究关于Hadamard分数阶积分的Hermite-Hadamard不等式，并在前人研究的基础上给出Hermite-Hadamard不等式推广和应用，从而进一步验证Hermite-Hadamard不等式以及得到一些新的不等式. 人们对凸函数的研究，最

早应该追溯到19世纪末.1893年，Hadamard对式进行了平均值的差值，而后1905年，J.L.W.V.Jensen第一个用不等式定义凸函数，到本世纪初，王良成等又更深入地讨论了凸函数的幂平均不等式，在这一百多年中，人们对凸函数不等式的讨论十分活跃，其内容也特别的丰富.

在1905年数学家Jensen首次给出了凸(凹)函数的定义.凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性、不减性及其性质不仅可以证明不等式，而且也可以准确、科学地描述函数的图像;另外，凸函数也是在优化问题中应用最为广泛的一类，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛应用，与凸函数有关的不等式在数学的基础理论和应用研究中起着非常重要的作用.

如果是（＜）上的连续凸函数，那么有著名的Hermite-Hadamard不等式 [^[1]]:

①

2013年，M.Z.Sarikaya, E. Set, H. Yaldiz, N. Basak给出这样的结论

定理1.1[^[2]] 设是（＜）上的连续凸函数且，则有下面的不等式成立：

②

（其中﹥0），在这里，若令=1，那么不等式②就等同于不等式①.

定义1.2[^[3]] 设﹥0，是定义在区间上的一个函数，且对于任意的,,函数在区间上局部黎曼可积，则我们称在区间上阶可积，记作

，＞

和

，＜

在这里是Gamma函数，.这就是著名的Riemann-Liouville分数阶积分.

由于Hermite-Hadamard不等式和分数阶积分的应用越来越广泛，所以很多研究Hermite-Hadamard不等式的学者已经对积分不等式进行了推广，不仅是局限在整数阶积分.现在，越来越多的Hermite-Hadamard不等式的推广的分数阶积分已经应用到不同种类的函数.

定义 1.3[^[4]] 设函数：，.

如果

那么是几何算术凸函数.

定理 1.4[^[5]] 如果函数是定义在上不 减 的 凸函数，且 ＞0，0＜a＜b, ,那么就有下面的分数阶积分不等式成立

2 预备知识

定义2.1 函数：称为凸函数，如果对于每个，都有下面的不等式成立：

其中.

如果是凸函数，则称是凹函数.

定理 2.2[^[6]] 定义，，＜,，且是一个调和凸函数，那么我们就有下面不等式成立：

定理 2.3[^[7]] 定义：，，，＜，是一个凸函数.如果是在上的一个调和凸函数,那么我们有下面的不等式成立

在这里＞0且.

3 主要结果

引理3.1 定义，函数是上的调和凸函数，那么有

在上是凸的.

证明 函数在是几何算术凸函数.，我们

，则有

这时我们用和替换和，则应用上面不等式我们可以得到

这就证明了引理3.1.

注

定理3.2 定义：，＜，.如果

在上有界，这里.那么有下面不等式成立

(1)

这里，＞0，，，.

证明 我们有

从而有

所以

由于

是关于对称，所以有

这就意味着

(2)

考虑

所以

（3）

又由

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