论文总字数：9976字

摘 要

不等式题目在中学数学竞赛中经常出现，出题灵活，方法多变，值得做系统的研究.作者在归纳整理了近几年各省竞赛中不等式类题目的基础上，将不等式问题分成了三大类，即解不等式的问题，解与不等式相关的问题，证明不等式的问题，并分别对题目的命题原则，解题策略等方面进行探讨.力求将竞赛中不等式类的题目一网打尽.

关键词：中学数学竞赛，不等式，解题策略，命题原则

Abstract: Inequality topic often occurs in middle school math contest, very flexible and diverse methods that worth doing research of the system. The author sums up the inequality in recent years, provincial competition class title, on the basis of the inequality problem is divided into three categories, namely solving inequality problem, the problem of inequality related , prove the inequality problem, proposition and subject principle, discusses the problem-solving strategies, etc. The topic of striving to race inequality class indiscriminately.

Keywords: High school mathematics competition, Inequality, Proposition and subject principle ,

Problem-solving strategies

目 录

1 引言 4

2 数学竞赛中解不等式的问题 4

2.1 高次不等式 5

2.2无理不等式 5

2.3 含绝对值的不等式 6

2.4 指数，对数不等式 6

3 数学竞赛中与不等式有关的问题 7

3.1 确定参数的值或范围的问题 7

3.2 与线性规划有关的不等式问题 9

3.2.1 线性目标函数问题 9

3.2.2 非线性目标函数问题 11

4 数学竞赛中证明不等式的问题 12

4.1 比较法 12

4.1.1 差值比较法 13

4.1.2 商值比较法 13

4.2 分析法 13

4.3 综合法 14

4．4 反证法 15

4.5 数学归纳法 15

4.6 放缩法 16

4.7 换元法 17

4.8 构造函数解不等式 18

4.9 利用平均值不等式证明 20

4.9.1 基本不等式 21

4.10 利用柯西不等式证明 22

结论 21

参考文献 26

1 引言

数学竞赛是通过数学内容而进行的教育活动，既具有教学的目的，又可以作为数学发

展的一个智慧的迸发点.

1.数学竞赛中不等式的意义，价值及研究情况

在中学数学竞赛的选题中，不等式类问题无疑起到了重要作用.不等式是中学数学阶段基础内容之一，尤其是不等式的证明，具有内容取材广泛，综合性强，往往要综合数学各方面的知识和多种数学思维，具有迁移和发散能力要求较高的特点.不等式的结论往往看似简单而实际不平凡的.不等式虽然是数学竞赛中不可缺少的一部分，但由于不如数论，组合数学那样引人注目，所以在国内外的研究著作中，并没有太多的专著.但是，它又是各种数学竞赛指导教材不可缺少的一部分.在国外，有像《几何不等式》，《制胜数学奥林匹克》这样的经典丛书，不等式都占有相当大的比重.在国内，自八十年代系统地引入国际数学竞赛，并且举办我国的数学竞赛以来，《常用不等式》、《竞赛数学教程》、《奥林匹克数学教学概论》、《数学奥林匹克不等式研究》等书籍，也纷纷大篇幅收录介绍关于不等式内容的解题方法.可以说，对于不等式在数学竞赛中应用的研究还是较为广泛和深入的.

2.不等式在数学竞赛中的应用分类与研究

为了使高中数学竞赛能够在高中数学知识衔接地基础上，发挥更大的作用，2006年，中国数学学会在教育部制定的《全日制普通高级中学数学教学大纲》的精神和基础上，重新修订了《高中数学竞赛大纲》以适应当前形势的要求.全国高中数学联赛一试所涉及的知识范围不超过教育部2000年的《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，但在方法的要求上有所提高.全国高中数学联赛二试（加试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，整个大纲中涉及到不等式的内容是“几何不等式、三角不等式、平均值不等式，柯西不等式等不等式”，其中几何不等式属于几何部分，后几者都属于代数部分.主要考察的题型有填空题,应用题和证明题.本文则致力于从不等式问题的解决手段上，对于以上几类基本的知识点的应用进行分析，对于不等式问题的解决的方法和思维研究提出一定的思考.

1. 数学竞赛中解不等式的问题

不等式就其解题方法而言，一般都是以一元一次，二元二次不等式的解法为基础，等价变形为关键.解指数，对数不等式要等价变形为代数不等式；若代数不等式为无理不等式，则需要等价变形为有理不等式，若有理不等式为分式不等式，则需要等价变形为整式不等式，若整式不等式为高次不等式，则需要等价变形为一元一次或一元二次不等式组.[^[1]]

2.1 高次不等式

例1 不等式的解集为_________.（2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛）

解

原不等式等价于

设，则在R上单调增.

所以，原不等式等价于

（说明）高次不等式可用“穿针引线法”， “穿线法”需注意以下几点 : ① 零根从左往右逐渐递增 ②每个因式的次数为奇次幂 ③每个因式中未知数的系数必为正 ④从右始终是往下穿 .

2.2 无理不等式

（1)

（2）

例2 满足的实数的取值范围是 ．（2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题）

解 用图像法：令，此为单位圆的上半圆，它与直线交点，半圆位于交点左侧的图像皆在直线上方；或者三角函数代换法：

因，令，则，由条件式，平方得，则，又有，因此．

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：9976字