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摘 要

Wallis公式是有关阶乘的一个重要公式，首次把用有理数列的极限表示出来. 本文运用了两边夹定理法、单调有界定理法、含参变量积分法等多种证明方法证明了Wallis公式，并对广义Wallis公式进行了猜测与证明；除此以外，对Wallis公式在极限计算、积分计算、数项级数敛散性的判别等方面的应用进行了一些研究.

关键词：Wallis公式，两边夹定理，广义Wallis公式，Stirling公式

Abstract: The Wallis formula is an important formula for factorial. It is the first time to express the limit of rational series. In this paper we proved the Wallis formula by using the two-sided clamp theorem method, monotonously defined method, and variable integral method. The generalized Wallis formula was guessed and proved. In addition, some researches on the application of Wallis formula in limit calculation, integral calculation, and discriminating the divergence of several series were studied.

Keywords: Wallis formula, two-sided clamp theorem, Generalized Wallis formula, Stirling formula

目 录

1 引言………………………………………………………………………………………………4

2 Wallis公式的几种证明方法…………………………………………………………6

2.1 两边夹定理法……………………………………………………………………………8

2.2 单调有界定理法……………………………………………………………………… 9

2.3 含参变量积分法……………………………………………………………………… 9

2.4 反常积分法………………………………………………………………………………12

2.5 代数方程类比法……………………………………………………………………… 13

3 Wallis公式的推广………………………………………………………………………15

4 Wallis公式的简单应用…………………………………………………………………17

4.1 利用Wallis公式计算极限………………………………………………………… 17

4.2 利用Wallis公式计算积分…………………………………………………………18

4.3 利用Wallis公式判别数项级数敛散性…………………………………………19

4.4 利用Wallis公式推导Stirling公式…………………………………………20

结论…………………………………………………………………………………………………23

参考文献…………………………………………………………………………………………24

致谢…………………………………………………………………………………………………25

1 引言

Wallis公式^[1]是一个包含双阶乘的公式，它在某种程度上与有关.

. (1)

其中

，

.

Wallis公式还有一些变形：

Ⅰ：，

Ⅱ：.

从Ⅰ式可以看出Wallis公式的实质就是刻画了双阶乘与 之比的渐近性态.

Wallis公式的证明有多种不同的方法，但是需要运用以下几条结论或引理的辅助来进行证明：

结论1^[2]

.

结论2^[3]

.

证明 由不等式^[4]

，

可得

.

于是

.

故

，

而

.

所以

故结论1成立.

结论3^[5]

.

证明 当时，有

，

所以

，

即

，

所以

.

引理1^[6] 设，则有

.

证明 因为

，

所以

.

类似可证得

. (2)

2 Wallis公式的几种证明方法

在引理1中当时可得到,即可得到

， ，

当 时，

，

，

，

， .

当 时,

，

，

，

， .

所以最终得到

由的单调性可知

，

由定积分保不等式性质得不等式

，

从而有

，

即 .

令

， ，

有

. (3)

2.1 两边夹定理法^[7]

将式子(3)变形为

，

已知

，

由两边夹定理得

，

即

，

即

.

开平方可得

. (4)

2.2 单调有界定理法

因为

，

可知数列单调递增，并且有上界，故极限也存在.

又因为

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