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摘 要

我们研究了一个含p-Laplacian算子非线性奇异方程，利用上下解方法和拓扑度理论，证明了该奇异方程正周期解的存在性和多解性.我们的结果可用于研究经典Ambrosetti-Prodi型周期性问题.

关键词：Ambrosetti-Prodi问题，奇异，连续定理，存在

Abstract：We study a nonlinear singular equation with p−Laplacian and prove the existence and multiplicity of positive periodic solutions to the present singular equation. We make use of upper and lower solutions and topological degree theory. Our results can be used for studying classic Ambrosetti-Prodi type periodic problems.

Keywords：Ambrosetti-Prodi problem,Singularity,Continuation theorem,Existenc

目录

1 前言……………………………………………………………………………………………… 3

2 准备工作…………………………………………………………………………………………4

3 主要结果…………………………………………………………………………………………8

结论…………………………………………………………………………………………………… 11

参考文献…………………………………………………………………………………………… 12

致谢…………………………………………………………………………………………………… 13

1 前言

在1986年，Fabry,Mawhir和Nkashama研究了Lienard微分方程

(1.1)

其中是实参数，和是连续函数，在中是以2为周期.

基于以下的假设：

,.

他们得到了关于(1.1)的2周期解的结论.

定理1.1.考虑方程(1.1)，其中，都是连续的，在中是以2为周期并且满足假设.然后存在一个，使得

1. 对于时，方程(1.1)没有2周期解；
2. 对于时，方程(1.1)至少有一个2周期解；
3. 对于时，方程(1.1)至少有两个2周期解；

定理1.1.的结果来源于解决Dirichlet或Neumann偏微分方程问题.参见文献[2]-[6].上述理论非常经典，已经获得了许多类似的结果.特别是所谓的 Ambrosetti-Prodi问题一直受到许多研究人员的关注并且是一个热门的研究话题.Mawhin考虑了p-Laplacian算子的非线性扰动的周期性Ambrosetti-Prodi问题.基于Leray-Schauder度理论和对于上下解方法，Wang和An研究了Ambrosetti-Prodi问题的双周期解.Soverano和Zanolin考虑了一类非线性常微分方程并讨论了无限多周期的存在性.最近几年，Fonda和Sfecci概括了定理1.1.并得到以下定理.

定理1.2.假设和为连续函数，关于变量是周期的.这样

(1.2)

如果，则对于(1.1)的定理1.1.有相同的结果.另一方面，如果，则不会有相同的结论.

为了回答上述问题，本文致力于研究下列具有p-Laplacian算子的非线性微分方程的-周期解的存在性和多解性：

(1.3)

本文的目的是研究在可变号的条件下正-周期解的存在性.此外，(1.1)是在的情况下(1.3)的特列.因此，本文的结果比现有的结论更广泛.

2 准备工作

在本章中，我们将给出一些将在本章中使用的符号，定义和引理.

令

并规定

和

并规定

显然是Banach空间.对于每一个，令

显然，对于

定义2.1.函数被称为(1.3)的下解.如果，则对所有的和

定义2.2.函数被称为(1.3)的上解.如果，则对所有的和

对需要以下假设：

在中递增，并且存在常数则

.

引理2.1.假设和假设都成立.则是(1.3)具有正-周期解的必要条件.

证明：令是(1.3)的任意-周期解.将(1.3)的两边同时除以，然后

在上我们对上述方程进行积分，我们有

1. e.,

(2.1)

在(2.1)中，我们可以很容易地得到

因此，是(1.3)具有正-周期解的必要条件.

现在，我们证明(1.3)的正-周期解具有约束性.

引理2.2.令 假设 并且假设也成立.在假设中定义，在(2.1)中定义.令，则(1.3)中的每一个正-周期解都满足

证明：令是(1.3)的正-周期解，且 使得

显然， .将代入(1.3)中，则

这使得

(2.2)

当

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