论文总字数：4560字

摘 要

关键词：矩阵,逆矩阵,特征值,伴随矩阵,初等变化

Abstract：This article focuses on identification method and its application reversible induction matrix, and examples.

Keywords：matrix,inverse matrix,characteristic values, adjoint matrix,elementary transformation

目 录

1 前言 4

2逆矩阵的有关定义和性质 4

2.1 逆矩阵的有关定义 4

2.2 逆矩阵的性质 4

3 矩阵可逆的判别方法的归纳及其应用 5

3.1 定义判别法 5

3.2 行列式判别法 5

3.4 初等变换判别法 7

3.5 线性方程组判别法 8

3.6 初等矩阵判别法 10

3.7 特征值判别法 11

3.8 Hamilton-Caley定理求逆矩阵 12

3.9 分块矩阵可逆的判别 13

结论 15

参考文献 16

1 前言

在以前线性方程组的研究中可以看出，线性方程组的一些重要性质都在其系数矩阵和增广矩阵的性质上有所反映，同时解方程组也是变换这些矩阵的过程．除线性方程组，还有很多问题都会使用矩阵的概念．在这些问题中，表面上看上去毫无联系、完全不同，但将其转化成矩阵问题后却是相同的．这就使得矩阵理论已经成为一个极其重要且广泛应用的概念．

在矩阵的乘法运算中，就像有理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分．对解决数学中诸多理论问题都有重要意义．所以在矩阵理论中可逆矩阵有着非常重要的地位作用．

矩阵同时也是高等代数（特别是线性代数）一个主要研究对象和重要工具，它涉及到矩阵的行列式、矩阵的秩和线性方程组的解等多个知识点．可逆矩阵是矩阵理论的不可或缺的一部分,具有重要的理论和应用意义．

本课题首先讨论矩阵可逆的一些基础和通用的判别方法，再对给出的判别方法进行证明，并给出例题举例说明这些判别方法的实际运用，在例题中体现判别方法是如何应用，同时列举一些特殊的复杂的矩阵可逆的判别方法，并且对其进行简单的解释和说明，也会写出一定的应用．

2逆矩阵的有关定义和性质

2.1 逆矩阵的有关定义

定义 1^[1] 数域上, ,阶方阵，如果存在阶方阵满足条件,这里是阶方阵，就称可逆,并且称是的逆,记．

定义 2^[1] 记中的为，令,我们称矩阵为的伴随矩阵．

定义 3^[1] 矩阵的初等行变换：互换某两行的位置；用中某个非零数乘某行：将某行的另一行上。初等列变换与初等行变换完全类似，只需将行换成列即可．

定义 4^[2] 初等矩阵，是对单位矩阵施行一次初等变换得到的矩阵．

定义 5^[1] 对一个矩阵作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵：对作一初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵．

2.2 逆矩阵的性质

性质 1

性质 2

性质 3

性质 4

3 矩阵可逆的判别方法的归纳及其应用

3.1 定义判别法

利用定义 1数域上, 阶方阵，如果存在阶方阵满足条件,这里是阶方阵，就称可逆,并且称是的逆,记．到一个，使得，则可逆，．

例 1 设矩阵

=

求．

解 设

=

可以解得

=．

3.2 行列式判别法

把阶矩阵

的唯一的阶子式

叫做矩阵的行列式，记做．

定理 1 对阶矩阵，若≠0，则矩阵可逆．

例 2 设

=

求的逆矩阵．

解 =60 则可逆，=．

所以

=．

3.3 伴随矩阵判别法

定理 2 若存在,使得，则可逆．

证明 若可逆，则显然,且

．

反过来，如果有

,,

则

．

例 3 令

,,

满足条件,求．

解 根据,我们有

,

所以

．

同样地，因为,故

．

3.4 初等变换判别法

（1）矩阵的秩

定理 3^[1] 若一个阶矩阵的秩等于，则矩阵可逆．

证明 由可逆，知,再由矩阵秩的定义，可得.所以由可逆可推得.反过来，必要性也显然成立．

（2）初等变换

定理 4^[1] 对矩阵施行初等变换后，得到矩阵。若可逆，则可逆．

就是对阶矩阵，作矩阵，然后对此矩阵施以初等行变换，若把子块变为，则子块将变为，即初等行变换．

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