论文总字数：7065字

摘 要

关键词：变指数，椭圆型方程组，三解定理

Abstract: In this paper, we obtain the existence and multiplicity of weak solutions for a class Quasilinear elliptic systems involving (p(x), q(x))-Laplacian operators, the main tool is the three critical points theorem given by Ricceri.

Keywords: Variable index, Elliptic systems, Three critical points theorem

目录

1 前言 ……………………………………………………………………………4

2 预备知识 ………………………………………………………………………6

3 定理证明 ………………………………………………………………………9

参考文献…………………………………………………………………………16

致谢 ……………………………………………………………………………18

1 前言

近年来，变指数椭圆型问题越来越被重视，此类问题来源于物理、化学、生物等自然科学，对此类问题的研究可以促进这些学科的进一步发展，同时也可以推动数学学科的进步. 在实际中要求对它们进行直接计算，分析它们所描述的极其丰富的规律和现象来指导实践.

最近，以Ricceri中的三解定理为基础，得到了一系列关于方程（组）多解性的结果. 如在文中Bonanno利用三解定理得到了下面两点边界值问题的三个解的存在性，

这里是一个正参数，是一个连续函数.

在文中，Candito将文的主要结果推广到非自治的情况，

这里是一个参数，是一个连续函数.

在文中，He和Ge将的主要结果推广到了解决拟线性微分方程的问题上，即

在中,作者考虑了如下的问题：

(1.1)

这里是的非空有界开集，是连续函数，其中称为算子. 作者证明了存在一个开区间和一个正实数，那么对任何，问题(1.1)在中至少存在三个范数小于的解.

在文中，作者考虑了如下类型的问题：

(1.2)

这里是有界的且边界光滑的区域，是一个实数，是在上的连续函数，，我们用表示的外向单位法向向量. 其中算子称为算子，与之相应的方程称为变指数方程. 作者利用Ricceri三解定理在一定条件下证明了(1.2)三个弱解的存在性.

在文中，作者考虑了如下类型的问题：

(1.3)

这里是边界属于的有界区域，是实数，，. 作者在一定的条件下证明了(1.3)三个弱解的存在性.

在文中，作者考虑了如下的问题：

(1.4)

作者利用Ricceri三解定理在一定条件下证明了(1.4)三个弱解的存在性.

在文中，作者考虑了如下的问题：

(1.5)

利用Ricceri三解定理作者同样证明了(1.5)三个弱解的存在性.

本文考虑如下类型问题：

(1.6)

这里，是，是一个函数，满足对所有，在上是可测的，并且对所有，在上是的，表示关于的偏导数，，

2 预备知识

我们列出一些本文所需的定义和基本性质，介绍有关Lebesgue-Sobolev空间的一些结论，这里是的一个开子集，先介绍下面的一些符号.

记

对任意，我们定义：

对任意，我们定义：

.

定义中的范数为：

，

则为巴拿赫空间，称为变指数Lebesgue空间.

空间定义为：

,

对任意的，定义范数

，

由文可知是自反可分离的凸巴拿赫空间.

下面我们给出如下命题

命题1：(见文)是的共轭空间，对任意的和，有

成立.

命题2：(见文)定义，则对任意的，有

；

；

成立.

在上，我们考虑如下等价范数

或

设

，

则对所有以下关系式：

；

；

我们知道，若李普希兹连续，，对任意且满足，存在一个连续嵌入. 若对任意，，由文中的定理2.2我们得到，是连续嵌入的. 由于当时，是完全嵌入的，因此我们得到是连续嵌入的.

现在，设=，记的对偶空间. 对任意，定义

，

在空间上，我们定义范数. 当，由上述可知是完全嵌入的，因此存在

. (2.1)

设，若对任意，有

(2.2)

成立，则称为方程组(1.6)的一个弱解.

记

=， (2.3)

我们的主要结果是下面的定理.

定理1：假设存在正常数且使得

对所有 有 ；

；

对所有有

，其中，；

任意，.

则存在一个开区间，一个正实数，满足对任意，问题(1.6)在中至少有三个范数小于的弱解.

3 定理证明

我们证明定理1的主要方法也是利用Ricceri的三解定理，即

定理A： 设是一个可分自反实巴氏空间. 一个连续G可导且弱下半连续泛函，且在上G导数连续可逆，是连续G可微函数，且G导数是紧的.

假设：

(i) 对任意使；

(ii) 存在及使；

(iii)

则存在一个开区间，一个正实数，满足对任意，方程

在中至少存在三个范数小于的弱解.

在给出定理1的证明之前，让我们先给出下面的引理.

引理1：假设存在两个正常数且，

对所有，，有

则存在， 满足

且.

证明：设

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