浅谈多项式的整除问题
2023-09-07 09:09
论文总字数：6421字
摘 要
本文从多项式以及多项式的整除理论和相关概念着手,并进一步剖析理解其相关性质和定理,在这些完备的理论基础之上,从九种角度精选例题,来对应相关知识点与论述点,进而达到解决多项式整除问题的目的.关键词:多项式；整除；整除理论；判别方法
Abstract:This paper starts with the dividing theory and related concepts of polynomials and polynomials, and further analyses and understands their related properties and theorems. On the basis of these complete theories, examples are selected from nine perspectives to correspond to relevant knowledge points and discussion points, so as to achieve the purpose of solving the dividing problem of polynomials.
Keywords: polynomial，division，dividing theory，discriminant methods
目录
1 引言 4
2 预备知识 4
3 多项式整除的计算和证明 9
3.1 利用单位根及因式分解定理 9
3.2 利用熟知的乘法公式 10
3.3 利用整除的判别定理 10
3.4 利用不可约多项式的相关知识 11
3.5 利用待定系数法 12
3.6 利用最大公因式的性质 13
3.7 利用互素的性质 14
3.8 利用余数定理 14
3.9 利用矩阵判别法 15
结论 16
参考文献 17
致谢 18
1 引言
多项式整除问题是大学本科阶段高等代数这门科目中的一个重要研究对象,
它的地位在多项式理论和方法中举足轻重.整除这个问题贯穿于学生学习数学的始终,而多项式是中学才接触的,多项式与整除相结合形成的多项式的整除问题无论对于除法还是多项式的深入研究都显得弥为重要.
本文根据所学的专业知识以及相关文献,总结了关于多项式整除问题的九种方法.
2 预备知识
定义1[1] 数域上的多项式称为整数,如果有数域上的多项式使等式
成立.
定义2[1] 设,是中两个多项式.中多项式称为,的一个最大公因数,如果它满足下面两个条件：
- 是,的公因式;
- 的公因式全是的因式.
定义3[1] 中两个多项式互素（也称为互质）的,如果.
性质1[1] 若,则
证明 由题意可设,因此可以得到等式
,
从而有成立.
性质2[1] 如果那么,其中为非零常数.
证明 由题意知,故有
,
同理,由可知
于是可得这样的等式
.
以下我们分两种情况：
- 如果为零,那么也为零,此时结论显然成立.
- 如果不为零,那么等式两边同时消去,
可以得,因此有.由此可知,
也就是说是一个非零常数,从而此结论得证.
性质3[2] （1）若多项式和都与多项式互素,则乘积
也与互素.
性质4[3] （1）若 不可约,则对任意多项式必有
或.
（2）若且不可约,则必 或.
带余除法定理1[1] 设,那么在中存在唯一的一对多项式,使得成立这里或
证明 分析存在性:
1）当或时,取即可；
2）当时,由降次的方法得
或.
以下分三种情况讨论：
当时,可取;
当时,并且可取;
当时,并且再对进行同样的讨论,可得
.
经过有限步后,一定存在使适合或 以上分析可以得到一串等式，将它们加起来必要性便可得证.
唯一性证明
1）当或者时,有
此时可设记作
这里并且
令则,或.以下分两种情况讨论：
若,则,而；
若,而,由可知
,.
2)当,且,设
.
令则,或. 对的多次进行同样的讨论,由于,并且有限. 因此在进行了有限步后,必有适合或. 这里我们可得到一串等式：
将这串等式加起来,就有
.
于是有
该式子适合式,
并且,或.
若还能找到的多项式,使
其中,,或.由,得
,.
若,则.但,而显然有, 这是一个矛盾. 因此,,即. 由,得,即.这样唯一性也得到证明.
带余除法推论1[1] 令.
1）如果,则的充分必要条件是;
2）如果,则的充分必要条件是除所得的余式
例1 问满足何种条件的时候能被整除.
解 当除时,可得商式和余式分别为
.
而能整除的条件是,即
,
从而与,也就是说.
注 当数域扩大时,两个多项式之间的整除关系不改变.
例2 令是数域,且有.那么在中,当
且仅当在中.判断这句话是否正确.
解 该句话正确.
若,在里,有因此,在里仍然不能整除
若,则在里有成立,且但是与都是的多项式,因而在里等式仍然成立.由的惟一性可得,在里仍然有
相反,设在中,即存在使成立,这一等式在里也成立.由带余除法的唯一性可知,这与矛盾,因此所以这句话是正确的.（但是反过来不成立）
3 多项式整除的计算和证明
3.1 利用单位根及因式分解定理
这个方法需要熟练掌握因式分解定理和单位根的性质.
定理2[1] 数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.
证明 利用数学归纳法.
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