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摘 要

微分中值定理是微分学的基本定理，是应用导数的局部性质研究函数整体性质的重要工具. 本文将主要介绍应用数学微分中值定理的一些常见题型的解题方法，在定点问题、根的存在性、不等式的成立、求极限上赋予新的思想.

关键词： 微分中值定理,导数,定点问题,根的存在性

Abstract：Differential mean value theorem is the fundamental theorem of differential calculus, and it is an important tool to study the global properties of functions by using the local properties of the derivatives. This paper will mainly introduce the problem solving strategies of some types of mathematics problems which apply the differential mean value theorem, and will give new ideas on the fixed problem, the existence of the roots, the establishment of the inequality and the limit problem.

Keywords：Differential mean value theorem, Derivation, Fixed problem,Existence of roots

目 录

1 前言 4

2 微分中值定理的应用 6

参考文献 12

1 前言

微分中值定理建立了函数与导数间的关系,其中构造辅助函数是解决微分中值定理证明问题中的关键,恰恰也是困难所在,所以熟练掌握部分构造法及其几种常用的题型可大大促进解题能力与发散性思维.文[2]中主要介绍了根的存在性的相应例题以及解题思路,文[3]与文[4]中介绍了求极限的相应例题以及解题思路.下面介绍几个主要的微分中值定理：

定理1.1 （Rolle中值定理) 若函数满足如下条件：

（1）在闭区间上连续；

（2）在开区间上可导；

（3）；

那么上至少存在一点,使得.

注1：定理中的三个条件缺一不可！

注2：Rolle中值定理的几何意义（如图1）：在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.

图1. Rolle中值定理的几何意义

定理1.2 （Lagrange中值定理) 若函数满足如下条件：

（1）在闭区间上连续；

（2）在开区间上可导；

则在上至少存在一点,使得

注1：特别地,当时,本定理的结论即为Rolle中值定理的结论.这表明Rolle中值定理是Lagrange中值定理的一种特殊情形.

注2：Lagrange中值定理的几何意义（如图2）：在满足条件的曲线上至少存在一点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB.

图2. Lagrange中值定理的几何意义

定理1.3 （Cauchy中值定理） 设函数和满足：

（1）在闭区间上都连续；

（2）在开区间上都可导；

（3）和不同时为零；

（4）；

则存在,使得

注1：Cauchy中值定理的几何意义（如图3）：把,这两个函数写作以为参量的参量方程

在平面上表示一段曲线,上述切线与弦AB互相平行.

图3. Cauchy中值定理的几何意义

2 微分中值定理的应用

2.1 “定点”问题

例1 一阶导数在上连续,上可导,,求证：

分析：结论变形为

证明 作辅助函数

则

依题意 得. 故由Rolle中值定理 得证.

注：,通常c取1.

例2 在上连续,上可导,,求证：,

分析：等式右边变形为,再将换成,即结论变形为.

证明 作辅助函数

,

则

由于在上连续,上可导,从而在上连续,上可导

故由Lagrange中值定理,使得

即,使得

,

得证.

例3 在上连续，上可导,,求证：,

分析：等式右边变形为,再将换成,即结论变形为,经过分析,无法判断出一个函数的导数中含有项,故尝试构造两个辅助函数,并使其导数项中含有项.

证明 作辅助函数

,则

,则

由Cauchy中值定理,使得

即

故得证

2.2根的存在性

例4 在上连续,上可导,,,证明在内至少有两根.

分析：分类讨论,不妨先设,,同理可证

证明 由有

,

故使,.由零点定理,一定使

所以由Rolle中值定理,

即在内至少有两根, 得证.

例5 证明：设在可导,,则方程在内至少有两个不同的实根.

证明 依题意,有

则由保号性,,使得当时,有,从而.

同理,由有,使得当时,有,从而.

所以在内至少存在一点,使.

由Rolle中值定理,内至少存在一点使；内至少存在一点使.

故方程在内至少有两个不同的实根, 得证.

2.3 证明不等式

例6 证明，其中.

分析：比较在处的大小

证明 设

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