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摘 要

关键词:多目标规划，主要目标法，单纯形法，线性加权法，层次分析法

Abstract:In this paper, we started from the application background of multiple objective programming to introduce several solution methods as prime target method, step method, simplex method, linear weight method as well as hierarchy analysis method etc. with specific examples.

Keywords: multiple objective programming, prime target method, simplex method, linear weight method, hierarchy analysis method

目 录

1前言………………………………………………………………………………3

1.1多目标规划问题简介…………………………………………………………4

2 多目标规划的求解法…………………………………………………………5

2.1 图解法………………………………………………………………………5

2.2 单纯形法……………………………………………………………………7

2.3 主要目标法…………………………………………………………………10

2.4 步骤法………………………………………………………………………11

2.5 线性加权法…………………………………………………………………14

2.6 层次分析法…………………………………………………………………17

结论………………………………………………………………………………22

参考文献…………………………………………………………………………23

致谢………………………………………………………………………………24

1 前言

多目标规划是研究多个目标函数在给定区域上的最优化,是数学规划的一个分支,又称为多目标最优化,通常记为MOP.其间,多目标规划问题,它的对象是在决策过程中求解使得多个目标都达到相对理想取值的最好方案.另外,多目标优选问题的对象是在过程的决策中依据多个原则或多个目的权衡和得出各种备选计划的优先排序和等级.这两者是都属于多目标决策的问题.在多目标规划产生之前,我们主要都是研究单目标规划问题,但是随着社会经济的发展与进步,人们的思想观念也发生了许多转变,例如经济科学,军事,企业管理,和工程设计等范畴,在很多实践社会问题中,衡量一个方案的好坏往往很难用一个指标来判断,而是需要多个目标来判断和比较,往往需要对多个目标的方案,设计.实施计划等方面进行好坏的判别,然而这些目标有时却是很不协调的,甚至是矛盾的.比如说,对企业产品的生产线管理,既希望得到高额的利润,又希望产品质量优越以及成本尽可能低的消耗,甚至还要包括减少对空气环境的污染等.因为考虑的目标比较多,有些目标之间又相互有矛盾,而导致多目标问题成了一个困难又繁琐的问题.因此,有许多学者都投身与这方面的钻研.1896年法国经济学家V,帕雷托最早针对不可比较多目标的优化问题进行研究之后,J冯,诺伊曼,HW.库恩,A.M.日夫里翁,A.W.塔克尔等数学家对此作了更深入的探讨,但是对此也没有一个完全具体合理的定义.对于多目标最优化的思想这一概念,最早是在1896年由法国经济学家V.帕雷托所提出来的.他从经济政治学的角度出发,把本质上是不能做比较的许多目标化成单个目标的最优化问题,从而提出了多目标问题和多目标规划的概念.1947年,J.冯.诺伊曼和O.莫根特恩从对策论的角度出发提出了多个决策着在相互之间有矛盾的情况下产生的多目标规划问题.T.C.库普曼斯于1951年立足于生产与配置的行为活动环节创建了多目标规划问题,而且对有效解做出了解释,得到了部分基础成果,H.W.库恩和 A.W.塔克尔也于1951年立足于研究数学规划层面发明了向量极值问题,对库恩-塔克尔有效解的定义做出了分析,同时对有效解的充要条件进行了分析和探究.L.A.扎德于1963年根据控制理论的相关原理,搭建了多目标规划问题,而且提供了部分基础成果.为了免受变态无效解的不利影响,A.M.日夫里翁于1968年在有效解的基础上提出了真有效解,而且获得了有关成果.从上个世纪七十年代起,越来越多研究人员对多目标优化展开了多维度、深层次的分析和探究,直到现在,社会各界对多目标规划的定义尚未形成统一认识,因此立足于理论层面,对目标优化还需进一步调整和完善.

对目标最优化进行解答的方式主要包括:第一,利用转化的思想,也就是化多为少,将多个目标问题转化成比较简单的唯一目标或是两个目标,比如,主要目标方式、使各种目标不断逼近其理想值的方法等.第二,优先级法,根据重要性,将目标进行层次顺序的排列,按照排列顺序根据上一个目标最理想解集合内对下一个目标最佳解进行求解,直至所有目标都得到最佳的求解.针对多个目标现行规划问题,不仅可以根据上文所阐述的方式进行求解,也能对单纯形法做出一定改动,用其进行求解.此外,还可利用其它一种层级分析手段,美国运筹学家沙旦于上个世纪七十年代首次提出了此种分析方法,它是集合了定量与定性的多目标最优化和最终策略制定的方法,在针对目标构成较为复杂而且相关数据不完善的决策问题的求解中发挥着重要作用.

目前我们所处的社会环境竞争日益激烈,同时面临的挑战也十分严峻,不管是决策层拟定事关全局发展的规划或是执行策略,或是中层领导对经营或建设活动进行经营管控,又或是来自基层实际工作计划、组织与统筹等,都要照顾到各个群体的利益,应当全面衡量各个规划对象,此外,还将面对来自我国内部各种各样的竞争与威胁,所以,我们应当对思想观念进行不断创新,做到与时俱进,以全新的理念面对众多的决策规划问题,总之,多目标最优化与现实状况更加符合,对其展开分析和探究将对实际工作开展发挥重要的指导作用.

1.1 多目标规划问题简介

我们把具有两个或两个以上目标函数的规划问题,叫做多目标规划问题^[1]．一般地,多目标数学规划问题可以写成如下标准形式

其中为个变量,,符号表示对向量形式的个目标求最小值,目的是为了用来区别单目标问题.

另外,多目标规划模型的向量形式为

其中,被称为可行集.在向量形式中,目标函数为求极小值(也可以规定为求极大值)．

值得注意的是,对于非标准形式的多目标规划模型时,可以通过适当方法将其转化成标准形式.多目标规划模型可以按有无约束条件分为无约束多目标规划和有约束多目标规划.若按其约束函数和目标函数是否线性分为线性多目标规划和非线性多目标规划.

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