偏微分方程

作者：Lawrence C.Evans

国籍：法国

出处：《偏微分方程》

中文译文：

2.4. 波动方程

在本节中，我们研究波动方程

(1)

和非齐次波动方程

(2)

受适当的初始和边界条件的约束。这里和 其中是开集。未知函数是,并且Laplacian 是关于空间变量求导的。在(2)中给定函数. 一个常见的缩写是

我们将发现波动方程的解与Laplace的方程或热方程的解完全不同。例如，这些解一般不是 ，表现出有限的传播速度等。

物理解释. 波动方程是弦振动、膜或弹性固体变形的简化模型。在这些物理解释中，表示当时点的某个方向上的位移。

让表示任何的光滑子区域. 则内部的加速度为

以及净接触力是

式中表示通过作用并且密度设定为. 由牛顿定律质量乘以加速度等于净力：

每个子区域都具有这种特性，因此

对于弹性体，是位移梯度的函数, 有

对于小, 线性化通常是合适的;因此

若，则这是波动方程。

这一物理解释表明它在数学上明确说明当时位移和速度两个初始条件是正确的。

2.4.1. 球面法求解.

在2.2.1和2.3.1中，我们通过搜索Laplace方程和热方程的某些标度不变的解开始。然而，对于波动方程，我们将提出（合理地）简洁的方法，首先直接求解的情况，然后采用球面平均法求解的情况。

a. 时的解, 达朗贝尔公式. 我们首先把注意力集中在一维波动方程的初值问题上：

(3)

如上给定了。我们想依据和推导出的公式。

让我们首先注意(3)中的偏微分方程可以“分解”为

(4)

记

(5)

然后(4)表明

这是一个常数系数的输运方程。从2.1.1中应用(3) (), 我们发现

(6)

对于. 结合(4)-(6), 我们发现

这是一个非齐次输运方程；所以2.1.2中的公式(5) (,) 意味着，则

(7)

最后我们调用（3）中的初始条件来计算和。(3) 中的第一个初始条件给出

而第二个初始条件和(5)说明

我们代入(7)现在得到

因此

(8)

这是达朗贝尔公式。

我们已经假设是(3)的（足够光滑的）解来推导出公式(8)。我们需要检验它真的是一个解。

定理 1 (时波动方程的解).设，用达朗贝尔公式(8)定义。那么

并且

定理的证明是一个简单的计算。

注记：()根据(8), 对于适当的函数和，有形如

的解。相反地，这种形式的任何函数都可以解。因此一维波动方程的通解是的通解和的通解之和。这是(4)因式分解的结果。见问题19。

() 我们从(8)中可以看出如果 和则 但通常不会更平滑。因此，波动方程不会像热方程一样造成初始初值的瞬时平滑。

反射法. 为了说明达朗贝尔公式的进一步应用，让我们接下来考虑半线上的初/边值问题：

(9)

对给定的, 有.

我们通过奇数反射把推广到全部的，将(9)转化为(3)的形式。也就是说，我们设

然后(9)变为

因此达朗贝尔公式(8)表明

回顾上面的定义我们可以将这个表达式转换为的条件:

(10)

如果, 我们可以把公式(10)理解为一个初始位移分为两部分，一部分以一个速度向右移动，另一部分以一个速度向左移动。后者反映在点上, 振动弦是确定的。

注意我们的解不属于,除非.

b. 球面平均数. 现在假设,并且解决初值问题

(11)

我们打算根据推导出一个明确的公式。该计划将首先研究在某些领域的平均值。作为时间和半径的函数,这些平均值是欧拉-泊松-达布方程的解，我们可以把这个偏微分方程在奇数的情况下转化为普通的一维波动方程。 应用达朗贝尔公式，或者更准确地说是它的变式（10），最终我们得到了一个解的公式。

注. 使 定义

为在区域上的平均值。

() 同样地,

(13)

对于固定的, 我们以下将视为和的函数并且发现解出的偏微分方程：

引理1 (欧拉-泊松-达布方程). 固定,并且令满足(11)，则并且

(14)

(14)中的偏微分方程是欧拉-泊松-达布方程。(注意是Laplacian 在极坐标中的径向部分。)

证明.1. 像2.2.2中定理2的证明一样，我们计算时

(15)

从这个等式我们可以推导出.我们接下来微分(15), 在一些计算之后发现

(16)

因此。使用公式(16), 我们可以类似地计算等，从而验证

2. 继续上面的计算，我们从(15)中发现

因此

所以

c. 当时, Kirchhoff公式和泊松公式的解. 下一小节中的计划是将欧拉-泊松-达布方程(14)转化为一般一维波动方程。由于整个过程相当复杂，我们在这里暂停一下，按这个顺序处理这样简单的情况。

时的解. 我们取假设解决初值问题(11)。我们回想一下的定义(12), (13) 然后设

(17)

(18) .

我们现在确定能解

(19)

的确

我们还要注意.在(19)中应用公式(10)，我们发现当时，

因为(12)意味着 我们从(17), (18),(20)得出结论

由于(13), 我们推断

但是

所以

回到(21), 我们因此得出结论

这是公式对于初值问题(11)的三维解。

时的解. 当时，没有像(17)这样的变换能将欧拉-泊松-达布方程转化为一维波动方程。相反，我们将的初值问题(11)简单地看作的问题，其中没有出现第三个空间变量。

事实上, 假设是 (11)在时的解，则

然后(11)表明

其中

.

如果我们记和 然后(24)和Kirchhoff公式(以(21)的形式)表明

其中表示在中以为中心,为半径的球，表示在上的二维表面测量。我们通过观察简化(25)

其中对。出现因子“2”是因为 由两个半球组成。观察。所以

因此公式(25)变为

但是

所以

因此我们重写(26)然后获取以下关系

对。这是求解二维初值问题(11)的泊松公式。

先求解当时的问题，然后下降到时采用的方法是降维法。

d. 奇数n的解. 在这一小节中，我们求解大于等于3的奇数的欧拉-泊松-达布偏微分方程.我们先记下一些引理。

引理2 (一些有用的恒等式). 让为 然后对于

而且,

归纳法的证明作为一个练习。

现在假设 是一个奇整数并且设。

接下来假设能解初值问题(11)。那么由(12)定义的函数是。

记号.我们记

然后

接下来我们结合引理1和引理2提供的恒等式在(28)中的转化为，实际上，将欧拉-泊松-达布方程转化为了波动方程。

引理3 (是一维波动方程的解) 我们有

证明. 如果,

倒数第二个等式依据(14)。利用引理2() 我们也得出结论，在上。

根据引理3, (29), 和公式(10), 我们总结得到当时

(30)

对所有成立。但回想起。而且引理2()中

所以

因此(30)说明

最后, 因为,(30)和引理2() 得出这个表示公式:

对

我们注意到, 所以(31)符合当的(21)，因此也符合Kirchhoff公式(22)。

仍然需要检查公式(31)是否真的提供了(11)的解。

定理 2 (奇数维波动方程的解). 假设是一个奇整数， , 假设 其中。由(31)定义。那么

并且

证明.1. 首先假设, 则

那么引理2(i)让我们计算

从2.2.2中定理2证明里的计算中, 我们也看到了

因此

另一方面,

因此(32)和上述计算意味着.

如果，一个相似的计算成立。

2. 我们把用引理2()-()来证明具有正确的初始条件作为一个练习。

注记(i) 注意，要计算，我们只需要关于及其在球面上的导数的信息,而不是在整个球上。

(ii) 将公式(31) 与达朗贝尔公式(8) () 进行比较，发现后者不涉及的导数。这表明对于,波动方程(11)的解在 时不必像它的初始值那样光滑：中的非正则性可能在时集中，从而导致正则性更低(稍后我们将在2.4.3中看到当时，的“能量标准”不会退化。）

(iii)再次(在的情况下)我们看到了初始扰动的有限传播速度的现象。

(iv) 公式(31)（使用热方程！）完全不同的推导在4.3.3。

e. 偶数n的解. 假设现在是一个偶整数。

假设是(11)的一个解, 。 我们想要给构造一个像(31)一样的表示公式。如上所述，对于，诀窍是要注意

(33)

在以下初始条件下是波动方程的解

,

其中

因为是奇数，我们可以用(31)(用代替)来根据确定的表示公式。但(33)和(34)同时根据给出了的公式，这也是降维法。

为了实现细节，让我们确定，,然后记。然后在(31)用代替，给出

代表中以为中心，为半径的球，代表 上的维曲面测量。现在

注意是当时

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