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关于John Von Neumann的一个迹不等式

作者

L. Mirsky, 英国，谢菲尔德

（1973年12月12日接收）

摘要

本论文的主要目的是对于J.Von Neumann不等式建立一个全面有效的证明，其中,是任意阶复数矩阵，它们的奇异值分别为和．

1. 如果是一个阶复数矩阵，我们用表示其共轭转置.是一个非负hermitian矩阵，因此它的特征根是非负实数.数字称为的奇异值.

1937年,J. Von Neumann证明了以下关于矩阵的迹的结果.

定理 如果为阶复数矩阵，它们的奇异值分别为和．则

． （1）

这个不等式广泛出现在基础的研究中，因此原始的证明不是非常容易.几年前，我提供了一个很简单的推导.鉴于对冯诺依曼的迹的不等式的兴趣，它可能值得出现另一种直接、基本和完全独立（除了对矩阵使用一个标准的分解定理）的处理方法.

1. 如果一个方阵的元素是非负实数，并且每一行和每一列元素的总和等于1，则称该方阵为双随机的.我们需要以下初步的结果，这也有一定独立的关系.

引理 如果是一个双随机阶矩阵，并且如果

（2）

那么

（3）

1. 中条件，实际上是可以被省略的，但是我们更倾向于使用能足够达到我们的目的的最弱形式的公式来表达我们的断言.还应注意的是,该引理与Ky Fan的结果密切相关.然而，下面使用的参数与Fan的不同.

在（2）中存在非负数，（），这样

， （）.

因此，使用符号来指代Kronecker delta，我们有

. （4）

如果，那么（4）的右侧的内部总和非负，因为

；

同样的结论在的时候也可以类似的得到.现在断言（3）是基于（4）的观点得到的.最后，我们可能会注意到这个引理也是G.Birkhoff关于双随机矩阵的著名定理的一个很简单的结果.

1. 我们现在来证明不等式（1）.在这里我们对于任意可以用形式表达的复方阵调用一个标准的定理，其中和是酉矩阵，是一个对角阵它的对角线元素是的奇异值（按照在任何预先分配的顺序）.让我们，接下来，记

, ,

这里都是酉矩阵，且

， .

那么，由于，我们有

,

这里和都是酉矩阵.所以

因此

.

但是，我们清楚，和是双随机矩阵；并且（1）即为该引理的应用.

1. 我们将结束我们的讨论与杂注关于Von Neumann定理的研究.
2. 的最直接的结果是一个等式

，

其中的上确界注意要取到所有对酉矩阵.这一结果的推导（也是由于Von Neumann）从（1）中可以得到，见例子.

不等式（1）促进了很多之后的研究并且引领了几个方向的概论.我们对于Ky Fan，Marcus和Moyls，和目前的作者的著作的参考感到相当满意.对于不等式的重要应用将会在R.Schatten的书中找到.

最后，我们可能会问是否有可能指出一个显著的下界来限制。I.Schur考虑了这个问题，他得到了一个非常显著的结果，这个结果值得被更广泛的推广（这一结果出现在一篇与Von Neumann的著作同年出版的论文中）。Schur证实，事实上，对于任何复方阵,(保持相同的顺序），不等式

是有效的.

参考文献

[1] Fan, K.. : Maximum properties and inequalities for the eigenvalues of completely continuous operators. Proc. Nat. Acad. Sci. 37, 760--766 (1951).
[2]Marcus, M., and B. N. Moyls: On the maximum principle of Ky Fan. Canad. J. Math. 9, 313--320 (1957).
[3]Mirsky, L. : Maximum principles in matrix theory. Proc. Glasgow .Math. Assoc. 4, 34--37 (1958).
[4] Mirsky, L. : On the trace of matrix products. Math. Nachrichten 20, 171--174 (1959).
[5] von Neumann, J. : Some matrix-inequalities and metrization of matrix-space. Tomsk Univ. Rev. 1,286--300 (1937). Reprinted in Collected Works (Pergamon Press, 1962), iv, 205--219.
[6] Schatten,R.: A Theory of Cross-Spaces. Princeton University Press. 1950.
[7] Schur, I.:Uber einige Ungleiehungen im Matrizenkalkul. Prace Mat.-fiz. 44, 353--370 (1937). Reprinted in Gesammelte Abhandlungen (Springer-Verlag, 1973), iii, 330--347.

L.Mirsky教授

纯数学系

Sheffield大学

Sheffield S 3 7RH，英国

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