单摆的数学建模及其解的性质开题报告

 2020-02-10 10:02
1.目的及意义(含国内外的研究现状分析)
1.1目的与意义

单摆是能够产生往复摆动的一种装置,将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点,另一端固结一个重小球,就构成单摆。若小球只限于铅直平面内摆动,则为平面单摆,若小球摆动不限于铅直平面,则为球面单摆。单摆运动具有等时性和周期性。

单摆模型是研究非线性动力学与较为复杂的物理现象的一个模型,在科学与工程的各个领域中(例如电路和电荷密度波)有着广泛应用。尽管科学上对于单摆的最初研究可以追溯到几个世纪前伽利略、惠更斯等科学家的时代,但是一直到今天,科学家们对于单摆的动力学特性的研究依然非常活跃。目前对单摆模型研究的主要目的是发现新运动,揭示新现象,检验各种数值分析方法并为实际应用开发新的技术和手段。在过去的几十年里,人们从各方面对单摆进行了动力学方面的研究,从最简单的谐波、亚谐波运动和复杂动力学到控制规则倒立位置和混沌,运用了分析、数值和实验的方法,取得了大量成果。

而对单摆模型的稳定性进行研究不仅有其深刻的理论意义,还有重要的工程背景。从日常生活中所见到的任何关于重心和支点的控制问题,如空间飞行器的稳定,都和单摆的控制有很大的相似性,故对其稳定控制在实际中有很多用处,如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、飞机安全着陆、化工过程控制等都属于这类问题。因此对单摆稳定性的研究具有重要的理论和实际意义。

1.2国内外的研究现状

现今对于单摆模型的研究的成果涉及到全局动态、数值解、非旋转解、旋转解、周期解、混沌响应等,而对于某些具体的单摆模型,还可以得到其解析解。近年来的主要成果有:Xu.X等研究了一类单摆系统的全局动态,进行了深入的数值分析,确定了共振结构及共振区域内的不同运动,特别是旋转。

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