1. 研究目的与意义

非完整系统是分析力学中的一个分支。早在1788年拉格朗日（lagrange j.l.）发表的名著《分析力学》开始，奠定分析力学的基础。后经哈密顿（hamilton w.r.）等人的发展使其臻于完善。19世纪中期有学者发现将解决完整系统的方法应用于独立坐标数目与坐标的独立变分数目不相同的问题中是行不通的，后来才知道在拉格朗日时代还没有认识到非完整力学系统的存在。直到1894年赫兹(hertz h.r.）第一次把约束和力学系统分为完整和非完整两大块，从此对非完整系统有了较系统的研究。随着近代数学的发展，用近代微分几何的观点研究分析力学的基本原理和方法是近代力学发展的重要标志，它使得经典的拉格朗日定理和哈密顿原理更加完善^[1]。其中常数变易法是解决微分方程的重要方法。近30年来，常数变易法被推广应用于积分非完整系统、弱非完整系统、vacco动力学系统、birkhoff系统等的动力学方程。本课题拟在前人的基础上进一步深入研究将常数变易法应用于求解非完整力学系统运动方程的积分问题。

非完整系统是指受非完整约束(非完整约束是指含有系统广义坐标导数且不可积的约束)的系统，其独立坐标数目与坐标的独立变分数目不相同，因此完整系统（独立坐标数目与坐标的独立变分数目相同）的基本原理无法求解非完整系统的问题^[2]。非完整系统的基本概念有：约束、广义坐标、准坐标、虚位移和交换关系等等，这些概念都是非完整力学的基础。约束可将一般系统分为完整系统和非完整系统。广义坐标能更直白描述质点系的位形，完全确定质点系位形的独立参变量。通过准坐标下定义非完整系统无限小变换生成元，由微分方程在无限小变换下的不变性，建立lie对称性的确定方程，得到结构方程并确定守恒量。虚位移是分析力学的一个重要概念，其推导的一系列原理是解决分析力学静力学的基本原理。变换是分析力学研究问题的重要手段，同时又是一种动力学理论，通过变换关系我们可以将某些复杂的方程简化，使之成为可以积分或者便于分析的形式^[3]。通过以上基本概念我们就能对非完整系统有一定的认识和求解的方法。日常生活和工程实际中存在着许多非完整系统，例如chaplygin雪橇，在粗糙平面上作纯滚动的球，四轮小车，带有三个轮子的桌子，两个自由度的滚动机器人等等^[4]。

非完整系统自赫兹发现以来已经有了很大的发展，近些年由于科技的发展推动机器人及车辆控制的技术提升，非完整系统的控制研究成为了大热且是国际上控制领域最具挑战性的课题之一。追溯非完整系统的历史发展，我们发现研究非完整系统是困难的、具有挑战性的^[5]。综述约束力学系统动力学方程的积分方法的研究历史与现状：

2. 研究内容和预期目标

主要研究内容：利用常数变易法研究求解各类非完整约束力学系统的动力学方程，并结合相应的算例来说明研究结果的应用。

1.一阶非线性非完整系统的常数变易法

2.二阶线性弱非完整系统的常数变易法

3. 研究的方法与步骤

通过阅读有关文献、知识补充、请教老师、同学讨论、思考总结、演算举例。

1.了解论文专题（积分非完整系统动力学方程的常数变易法），学习有关该专题的基础知识。先阅读《分析力学》叶敏 肖龙翔版的整本书，再阅读《非完整系统力学基础》，再强化学习《分析力学》梅凤翔版的，最后学习高数知识《常数变易法》。

2.检索国内外相关文献《非完整力学系统基础》梅凤翔、《弱非完整系统的运动方程及其近似解》梅凤翔、《zhang y.the method of variation on parameters for integration of a generalized birkhoffian system [j].acta mechanica sinica,2001,27(6):1059-1064》，分析比较，拟定题目。3个选题分别为：1）.一阶非线性非完整系统的常数变易法

4. 参考文献

[1] 叶敏，肖龙翔.分析力学[j].天津:天津大学出版社,2001

[2] 梅凤翔.非完整系统力学基础[m].北京：北京工业学院出版社

[3] 梅凤翔.分析力学（上，下卷）[m].北京：北京理工大学出版社，2013

5. 计划与进度安排

(1)毕业实习：第1～3周（3月25日前）

(2)文献检索，提交开题报告：第4周（4月2日前）

(3)论文研究，提交外文翻译初稿：第8周（4月22日前）