有理函数积分的几种特殊方法
2024-02-05 04:02
论文总字数：3272字
摘 要
：有理函数积分如果用传统计算方法，一般计算量比较大.本文在传统方法的基础上，探讨和总结几种特殊方法.关键词：有理函数，积分，特殊方法
Abstract: Rational function integral if using traditional calculation method,generally relatively large amount of calculation.On the basis of the traditional method,in this paper discusses and summarizes some special methods.
Keywords: rational function,integral,Special methods
目录
1 前言……………………………………………………………………………… 4
2 利用奥斯特洛格拉得斯基法的例题分析……………………………… 4
3利用换元法的例题分析……………………………………………………… 7
结论 ……………………………………………………………………………… 11
参考文献 ……………………………………………………………………… 12
致谢……………………………………………………………………………… 13
1 引言
有理函数的积分是在我们日常学习中经常所遇见的，好多函数积分都可以转换为有理函数积分来计算.然而很多同学遇到这类积分不知如何下手.通常这类积分是先将有理函数分解成部分分式，一般采用待定系数法或赋值法.这就是书本上介绍的部分分式法，部分分式法的优点是对于任何一个有理函数的积分，原则上都是能够计算出来的，同学们面对题目都可以套公式计算出来.但是一些有理函数的积分在运用部分分式法的时候非常繁琐，比如含有较多未知系数的有理函数，在面对此类函数时有种无从下手的感觉.而且部分分式法的计算量都比较大，在计算的时候难免出现错误.这时候我们可以采用几种特殊方法进行计算，换元法就是其中比较好的一种特殊方法.在计算有理函数积分时，应当看看能否用换元将这个积分进行简化.通过换元简化之后，用分部积分法进行计算.根据不同的有理函数选择合适的方法.
2 利用奥斯特洛格拉得斯基法的例题分析
奥斯特洛格拉得斯基方
其中
,,都是多项式，且的次数小于的次数.
例7 求
解
设
则
比较两边同次幂的系数，得
解方程组，得
因此
=
=
例8 求
解 现在的根并未求出， 因此，为了求，必须求与的最高公因式.
用辗转相除法
得最高公因式为此即至于可用去除
立即得
设
则
=
=
以乘两端,得
整理两边，比较同次幂的系数，得
解这个方程组，得
于是
=
=
因
故
3 利用换元法的例题分析
例9 求
解
如果用部分分式法来计算这个积分，那就要烦杂的多了.介绍几个特殊类型的有理函数积分.
1)如果是包含有倒根的4次多项式，是包含有倒根的2次多项式.即若则那么求和时，可取替换
例10 求
解
=
=
=
例11 求
解
=
如果是包含有负倒根的4次多项式，是包含有负倒根的2次多项式.若则
那么，求和时，可取替换
例13 求
解
=
=
=
=
3)型函数的积分（n和m均为自然数）
令则
=
例14 求
解 令,则
=
=
=
结论
本文主要探讨有理函数积分的几种特殊方法，一般采用部分分式法，但计算量一般比较大，步骤较多，容易出错.所以我们要根据不同的有理函数，选择合适的方法，本文涉及到了换元法和分部积分法，利用这两种方法对有理函数进行简化，方便计算.对有理函数的积分不存在对一切情况都适用的固定方法，对几类有理函数针对性地给出不同的积分方法.具体情况具体分析，不能盲目的去套公式，应该积极地去思考，去探究发现，只有更合适的方法，没有一成不变的解题方法.
参考文献
[1] 陈传璋. 数学分析lt;第二版gt;[M]. 北京: 高等教育出版社,1983.
[2] 李成章，黄玉民．数学分析lt;下册gt;lt;第一版gt;[M]．北京：科学出版社，1999．
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