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摘 要

：函数的一致连续性是函数的重要特征之一，本文对函数一致连续判别方法进行了深入的研究，提出了判断函数一致连续的比较判别法定理和比值判别法这两种重要定理，获得的结论进一步拓宽了这一问题的理论结果，为接下来的研究打下了坚实的基础。

关键词：一致连续，比较判别法，比值判别法，Lipschitz条件

Abstract: Uniform continuity is one of the important characteristics of functional. The thesis has made an in-depth research on the discriminated method of the uniform continuity of functional, and proposed the comparative and ratio-index discrimination laws for the discrimination of this characteristic. The research has drawn such a conclusion as has further expanded the theoretic result of the question and laid a solid foundation for the following research and study.

Key Words: Uniform continuity,proposed the comparative,ratio-index discrimination,

Lipschitz condition

目 录

1 引言 …………………………………………………………………………………………………4

2 预备知识 ………………………………………………………………………………5

3 一致连续的的判定方法 ……………………………………………………………5

3.1有限区间上的一致连续函数的判定 ……………………………………………6

3.2无限区间上的一致连续函数的判定 ……………………………………………7

3.3函数一致连续的比较判别法 …………………………………………………… 8

3.4函数一致连续的比值判别法 …………………………………………………… 8

结论 ………………………………………………………………………………………12

参考文献……………………………………………………………………………………13

1 引言

函数的一致连续性是在数学分析课程中的重要学习内容之一，它是一种比连续更强的一种性质，它着重强调函数在区间上的整体性质的展现。函数的一致连续性显示了函数在区间上相对均匀的变化现象，函数一致连续性是连续函数的重要性质之一，也是我们在大学数学学习中的重要内容，在微积分学及其他学科中得到了非常广泛的应用。因此需要我们不断的研究和补充相关的知识来扩充对一致连续的了解和学习，对于函数一致连续问题研究的重点学习与深入研究探讨也为掌握数学学习中其他的知识埋下了伏笔。

函数一致连续性的判定是一致连续函数学习中的重点和难点，我们现在对于一致连续判别方法主要是利用一致连续的定义和柯西判别法来判别的。本篇论文对于这个重点问题展开了深入的研究和补充，在研究不同区间上一致连续过程中，得到了判断函数一致连续的比较判别法定理和比值判别法这两种定理，获得的结论进一步拓展了这一问题的理论结果和理论依据，为接下来的研究打下了坚实基础，并对未来的应用发展得到了很大的提升。

2 预备知识

我们在以前的数学分析课程中学习了关于一致连续的概念，并且初步了解了著名的Cantor定理，但是对于一致连续的刻划、判定和性质还没有进行系统的认识和了解。本篇论文主要是全面、深入的研究探讨函数的一致连续性。函数的一致连续的定义为：

定义1^[1] 设函数定义在区间上，若对于任意的，存在，对任意，。只要lt;，就有lt;，则称在上一致连续。

引理1 若函数在及都一致连续，则在上一致连续。

注 改为时，结论也成立,见[1]。

引理2 设函数在区间上满足 条件，即存在常数，使得对上任意的两点，，都有 ，则在区间上一致连续。

定义2 如果 在区间 I 上满足定义，则对 ∀,都 ,使对任意 , ,只要 ,就有成立,则称函数在区间 上一致连续。

可知，一致连续性是函数在某个区间上的一种整体性质的表现，它要求对于 ，存在与位置无关的一个一致连续函数的，因此对于在一般的区间上来说，一致连续性是比连续性更强的一种性质。连续函数的可积性就是一致连续性的成功应用的一个典型例子。

例1 和 在 内不一致连续。

解 事实上，对 ，, gt; 0,都存在 = , = ，满足，却使 =1 gt; 成立。根据定义可知， 在(-∞, ∞) 内不一致连续。对于 ，则∃,,∃, ，显然有

（-）=（ - ）==0

显然满足- | lt; ，但==1=。

依定义，，（-， ）不一致连续。证毕。

3 一致连续的判定方法

3.1 有限区间上的一致连续函数的判定

定理1^[2]　函数在上一致连续的充要条件是函数在上连续。

定理2　函数在上一致连续的充要条件是函数在上连续并且f(x), f(x)都存在。

证明　必要性　因为函数在区间上一致连续, 即对任意εgt;0 ,存在δgt;0 , 对任意 ∈ (a , b)，, 有.显然函数在(上连续.并且对任意 , 存在, 对任意当时，则, 有.根据柯西收敛准则可知,存在。同理可证，存在。

充分性 因，都存在，分别设和，构造函数

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