论文总字数：5605字

摘 要

关 键 词： 函数项级数，一致收敛，比式判别法、根式判别法、莱布尼茨判别法

Abstract：In this paper, starting from the uniform convergence of several series, according to the relationship of several series and function term series, we obtain the ratio test method , the root test method and Leibniz’s discrimination method for uniform convergence criterion series of function terms, and give some examples to explain the applications of these methods.

Key words：Function series，uniform convergence，the ratio test method，the root test method，Leibniz’s discrimination method.

目 录

1 引言 4

2 函数项级数的定义 4

3. 函数项级数一致收敛性的常规判别法 5

4. 类比数项级数得到的一致收敛判别法 9

4.1比式判别法 9

4.2根式判别法 10

4.3 莱布尼兹判别法 11

结 论 12

参考文献 13

致 谢 14

1 引言

函数项级数作为一种有效的工具不仅在数学科学中而且在工程技术领域中都有重要的应用.在实际问题中，常常涉及到有关函数项级数的连续性、可积性和可微性.仅仅研究单个点的收敛性已经不能满足现实的问题，从而对函数项级数的收敛性提出更高的要求.加强逐点收敛为整个区间上的收敛，即一致收敛.实际上,一致收敛问题是研究函数项级数的一个最基本的问题，也是最重要的问题.并且，它也是高等数学里的一个难点.现有的很多教材及文献只介绍了几种有限的判别方法，而本文通过对比数项级数收敛判别法，推广到函数项级数.函数项级数既是数项级数的推广，同时数项级数又是函数项级数的一个特例．它们在定义以及性质上都有很多相似的地方．比如它们的收敛性、和问题.并且解决问题的手段大多采用数列和函数极限的方法．不论数项级数收敛判别法还是函数项级数的一致收敛的判别法，都有Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法等．而通过对比数项级数的比式、根式及莱布尼茨判别法，同样可以得到函数项级数的相应的方法．

2 函数项级数的定义

定义2.1 设是定义在数集上的一个函数列，表达式

（2.1）

称为定义在上的函数项级数，简记为． 称

（2.2）

为函数项级数（2.1）的部分和函数列．

若，数项级数

（2.3）

收敛，即部分和当时极限存在，则称级数（2.1）在点

收敛，称为级数（2.1）的收敛点．

假若级数（2.3）发散，则称级数（2.1）在点发散． 假若级数（2.1）在的某个子集上每点都收敛，则称级数（2.1）在上收敛．假若为级数（2.1）全体收敛点的集合，这时称为级数（2.1）的收敛域．

级数（2.1）在上每一点与其所对应的数项级数（2.3）的和构成一个定义在上的函数，称为级数（2.1）的和函数，并且写作

， ，

即

， .

也就是说，函数项级数（2.1）的收敛性就是指它的部分和函数列（2.2）的收敛性．

定义在上的函数项级数

（2.4）

的部分和函数为. 当时，

.

所以几何级数（2.4）在内收敛于和函数；当时，几何级数是发散的．

定义2.2 设是函数项级数的部分和函数列. 若在数集上一致收敛于函数，则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称在上一致收敛．

3. 函数项级数一致收敛性的常规判别法

定理3.1 设函数项级数定义在数集上，为收敛的正项级数，若对一切，有

（3.1）

则函数项级数在上一致收敛．

证明 根据假设正项级数收敛，由于数项级数的柯西准则，任给正数，存在某正整数，使得当以及任何正整数，有

又由（3.1）式对一切有

.

根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数在上一致收敛.

例3.1 证明级数 在上一致收敛.

证明 因为

， ，

而收敛，由-判别法知已知级数在上一致收敛.

定理3.2 （阿贝尔判别法） 设

（1）在区间上一致收敛；

（2）对于每一个，是单调的；

（3）在上一致有界，即对一切和正整数，存在正数，使得，

则级数在上一致收敛.

证 由（1），任给，存在正数,使得当及任何正整数，对一切,有

．

又由(2),(3)及阿贝尔引理得到

,

于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则就得到本定理的结论.

例3.2 证明级数在上一致收敛.

证明 令

，，

则 一致收敛，对每一个单调递增且一致有界. 从而由阿贝尔一致收敛定理知，在上一致收敛.

定理3.3 狄利克雷判别法 设

（1）的部分和函数列

在上一致有界；

（2）对于每一个是单调的；

（3）在上

则级数在上一致收敛.

证明 由(1)，存在正数，对一切，有.因此当为任何正整数时，

.

对任何一个，再由(2)及阿贝尔引理，得到

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：5605字