几种特殊线性空间的直和分解
2023-09-09 06:09
论文总字数：2564字
摘 要
本文总结了像空间与核空间的直和分解问题，并用其解决实际问题，最后将这一结论推广到线性方程组的解空间直和分解问题上.关键词：直和分解,核空间，像空间，解空间
Abstract：In this paper, the problem of direct sum decomposition of image space and kernel space is summarized and used to solve practical problems. Finally, this conclusion is extended to the problem of direct sum decomposition of solution space of linear equations.
Key words: Direct sum decomposition, kernel space, image space, solution space
目录
1 前言 5
2 预备知识 5
3 核空间直和分解 5
4.像空间的直和分解 7
5.线性方程组解空间的直和分解 9
结论 12
参考文献 13
致 谢 14
1 前言
线性空间的直和分解对像空间与核空间有重要作用，对后面的线性方程组的解空间的知识有进一步的认识[1]；杨歆芳讨论了像空间与核空间相关直和问题的充分条件[2].梁聪刚，赵伟杰.线性空间在一类线性变换多项式下的直和分解进行了较为详细的描述[3].
本文总结了像空间与核空间的直和分解问题，并用其解决实际问题，最后将这一结论推广到线性方程组的解空间直和分解问题上.
2 预备知识
设为一数域，本文讨论的线性空间是上线性空间，矩阵是上矩阵.
设[4]，为线性空间上的线性变换，为线性变换的多项式，，是矩阵的多项式.
3 核空间直和分解
定理1 [6] 设为线性空间上的线性变换，,
,
则
=.
证明 当时，， ，使得，
将带入上式，对于有，.令
,,
如果，则.
.
即 .
若，则
，.
所以,从而，即时结论成立.
设命题对成立，即，
=，.
于是
.
由归纳假设可知，
.
因此
.
结论得证.
例1 设线性变换为幂等变换,即 证明.
证明 ，，因，，则，
所以，则.
例2 是线性空间上的线性变换，且，证明
；
；
.
证明 ，则
,.
因，，则，且，
则
.
,则,于是.
，，同理，
.
4.像空间直和分解
定理2 [7]设为线性空间上的线性变换.，是的零化多项式[5]，
.
现在设，,对于
.
证明 对于，，，
，.
上式带入有，，.
设，，由上式,
=，
则.
由的任意性得到.
反之，如果，则存在使得，从而
===0
所以.
由的任意性得到.
综上所述.
定理3 设为线性空间上的线性变换，，，是的零化多项式，
.
设有，.
证明：由定理1可知
，
且由定理2知，，则.
例3 设 是线性空间上的对合变换（），证明
（1）
（2）
（3）
（4）
证明 ，
又因为互素，，所以由定理3得
.
同理得出（2）、（3）、（4）.
5.线性方程组解空间的直和分解
引理4 设，，且
，,
且,,,,的解空间分别为，
则
.
证明 时结论成立.
当时，所以，存在,使得
，.
即对于任意的，
.
令,,则.
如果,则，则
.
又显然有,从而知.
若，则推出，则
，
所以，从而,则得证.
设命题对成立，令，
设的解空间为,则=得，
，,
由上得,.
则.
引理6 设，，，，则
.
证明 由定理4知
则
.
又因为,
则
.
因=0,只有零矩阵的秩为零，所以.
由定理5可知，若，则有下列结论成立
;
;
;
;
;
.
结论
本文总结了核空间，值域空间的相关直和问题，过程中仍有其它情况并未探讨出，仍然需要改进.并且总结了一般情况的直和结论，根据这一结论，展开讨论，通过众多实例对结论进行解释，这一结论在线性空间有着十分广泛的应用.同时对线性方程组解空间有借鉴意义，并且对维数的讨论起到重要作用.
参考文献
[1]林记，姚云飞. 线性空间的直和分解思想的地位和作用[J]. 内江师范学院学报，2011：4-5.
[2]杨歆芳.线性空间分解为线性变换的核与像的直和的一个充分条件[J].韶关大学学报：自然科学版，1996：9-12.
[3]梁聪刚，赵伟杰.线性空间在一类线性变换多项式下的直和分解[J].平顶山学报，2009：61-62.
[4]北京大学.高等代数[M].2013：8，313，302-305.
[5]丘维声.高等代数[M].第二版.北京：高等教育出版社，2003：100,288-295.
[6]袁力，沈洁.线性变换的像与核对空间的直和分解[J]. 常州工学院学报,2014: 1-2.
[7]朱一心，马雪松，范兴亚，杨侠.关于线性变换的像空间与核空间的直和[J]. 数学的实践与认识,2012:267-272.
[8]吴校良.线性变换的核空间与像空间的维数关系式[J].内蒙古民族大学学报，2012：3-4.
致 谢
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