欧拉积分的变形及应用
2023-07-25 12:07
论文总字数：4169字
摘 要
:含参量反常积分是引进了非初等函数的一个重要途径，而欧拉积分是较常用的两类含参量反常积分。正因如此，欧拉积分在理论和实践上的地位仅次于初等函数，本文首先对欧拉积分及其变形进行探讨，然后给出相关应用，进而为一些特殊类型的积分提供了一种有效方法.关键词: 欧拉积分变形，欧拉积分应用，函数，函数.
Abstract：improper integral with a parameter is an important way to introduce non-elementary function. and Euler integral is one of the common used improper integral。so ..is only less of importance than Elementary function both in theory and practice 。this essay first discusses euler integral and its deformation, and then gives related applications，in order to provide effective methods for some special types of integral。
Keywords：Euler integral deformation, Euler integral application, The Gamma function,The Bate function.
目 录
1引言…………………………………………………………………………… 4
2欧拉积分的基本形式………………………………………………………………4
3欧拉积分的变形……………………………………………………………………… 4
4欧拉积分及其变形的应用 ……………………………………………… 6
结论 …………………………………………………………………………………… 16
参考文献…………………………………………………………………17
致谢 ………………………………………………………………………………… 18
- 引言
初等函数是我们使用的基本工具，很多时候我们都用它来解决问题，但这给我们学习研究带来了一些阻碍.我们所用的欧拉积分是利用含参变量积分使用的非初等函数.这是两个非常实用和重要积分,是我们解决数学问题一个十分重要的工具,一条相当便捷的途径.
微分和积分的思想起源已久远,而其正式成为一门学科则是于十七世纪,欧拉为十八世纪最为著名的数学家之一,并且不止于数学界做出巨大贡献,其思想的广泛性,甚至将数学推至整个物理领域,他的作品《引论》、《积分学》、《微分学》，几乎囊括在十七世纪微积分的所有建树.
而欧拉积分便是由欧拉整理得出的两类含参变量的积分,分为函数简称函数和函数简称函数.
本文叙述了欧拉积分的相关性质和定义,介绍了欧拉积分的几种变形,并举了几个简单应用，说明欧拉积分在实际计算中的用法.
现在先介绍欧拉积分的一些基础知识.
- 欧拉积分的基本形式
第一型欧拉积分通称函数.
.
其定义域为
,
其中
第二型欧拉积分通称函数.
.
其定义域为
其中
.
（余元公式）.
第一型欧拉积分与第二型欧拉积分之间有如下关系：
.
.
3 欧拉积分的变形
我们一般把欧拉积分写为这两种形式，定义为：
函数和函数,我们又称之函数和函数
欧拉积分的两个基本变形：
（1）函数
令, 有
.
令, 有
.
而当时，又得
且得
.
（2）函数
令有
.
令，有
.
欧拉积分相互之间的关联：
,
这上面说明了欧拉积分的定语与几种变形，而我们又该怎么利用欧拉积分解决一些积分运算在我们学习数学知识的时候呢？
4 欧拉积分及其变形的应用
我们已熟知欧拉积分的基本形式，只要将式子进行转换变形得到欧拉积分的形式，在对欧拉积分进行相应处理，便可得出该积分的值.
- 已知,试证.
证
.
令则
则我们可以得到
例2 计算.
解
因此我们得到上式
使用换元法对未知积分转化为欧拉积分，再计算.
例3 证明.
解
令,则，
我们由一些简单的结论可以推得
例4 求.
解
令,.
得
上式
3.在计算特殊三角函数时，欧拉积分的优势就更加明显了.
与在特殊三角函数的积分的应用.
我们使用余元公式的时候就可以轻易推导与的关系
设..
则有
令
,
,
则有
当时，有
当时，
其中
.
综上所述，应用函数与函数结合余元公式是计算各类积分(包括三角函数有理式的积分和反常积分)行之有效的方法之一，本文通过实例分析，说明它具有广泛的应用.
4.有时候我们解题还可综合运用上面的方法进行求解.
例5 求积分
解
.
令，则
那么
.
例6 求.
解
.
令，得
上式.
令，得
上式
.
欧拉积分的等价变形及其上下限是我们在使用欧拉积分时必须注意的点.
二 余元公式的相关证明
许多数学分析教材中都进行了对余元公式介绍，但并没有给出一些相关证明，笔者查了很多资料，尝试使用一种新的证明方法.
下面先介绍一种我所查到的余元公式的一种简单证明.
余元公式为：
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