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摘 要

对称性在积分的计算中具有很重要的作用，利用对称性我们可以简单有效的求出各类积分的结果,本文通过举例来说明对称性在各类积分:定积分、重积分、曲线积分还有曲面积分等积分计算中的应用.

关键词：积分计算，对称性，应用

Abstract:In the calculation of integral, symmetry has a very important role.Using the symmetry, we can simply and effectively find out the results of various types of points.In this paper, we give an example to illustrate the application of symmetry in the calculation of all kinds of integrals,

such as, definite integral, heavy integral, curve integral and surface integral, etc.

Keywords: Integral calculation，Symmetry，application

目录

1.引言 4

2.对称性在定积分计算中的应用 4

3.对称性在重积分中的应用 5

3.1二重积分的计算 5

3.2三重积分的计算 8

4.对称性在曲线积分计算中的应用 9

4.1第一型曲线积分的计算 9

4.2第二型曲线积分的计算 10

5.对称性在曲面积分计算中的应用 12

5.1第一型曲面积分的计算 12

5.2第二型曲面积分的计算 13

结论 15

参考文献 16

致谢 17

1.引言

从小学起，我们就开始接触对称性.同样，我们在学习高等数学的时候也会发现对称性质.在定积分的计算中，我们可以通过观察，积分区间是否为关于原点的对称和被积函数是否为奇偶函数来简化积分计算.

用换元法和分部积分法去求解积分是最基础最常规的解题方法,但只掌握这两种方法对于当代大学生是远远不够的，比如遇到一些更复杂，三元或三元以上函数积分时就比较困难了，这才是本文研究的目的.但是，通过观察，我们会发现有些积分所在区域并不具有对称性，但是我们可以根据问题的特点去重新构造积分，使其具有对称性，再利用我们所探讨出的结果，把问题简单化，最终得出结果；因此本文针对的积分都是所在区域是对称的.

但是，绝大多数教材大多只给了对称性在定积分计算中的结论，而对于重积分、曲线积分、曲面积分这些积分问题时，基本都是要求先将其转化为定积分后再利用对称性求解.在这里，我仅仅关于对称性在各类积分计算中的应用作一个综合论述.

2.对称性在定积分计算中的应用

定积分的对称性 设在区间上可积，若为奇函数，则

；

若为偶函数，则

.

证明 当为奇函数时，令，则

-，

故

；

当为偶函数时，

,

所以

.

例1计算积分

分析 因为被积函数是奇函数，故由定积分的对称性知

.

例2计算积分

分析 由于被积函数是偶函数，若用几何图形去解释则为与轴、、所围成的面积.

解

3.对称性在重积分中的应用

3.1二重积分的计算

把定积分的对称性推广到二重积分的计算中有如下性质

二重积分的对称性1 若关于轴对称，当时，有

；

当时，有

.

（其中是的上半部分）

证明 由于关于对称，因此假设：，，从而

.

如果函数是关于的奇函数，由二重积分的对称性可知

，

故

.

如果函数是关于的偶函数，则

，

因此

.

二重积分的对称性2 若关于轴对称,当，有

；

当，有

.

(其中为的右半部分)

证明同上类似

例3 计算积分，其中区域：

解 分析

由于积分区域关于、轴对称，而为奇函数，则

，，

所以 原式

二重积分的对称性3 若关于原点对称，当,有

；

当，有

.

(其中是的上半部分)

证明 设可分为两个区域和，并且和是关于原点对称的且任意的,关于原点的对称点，则 由Jacobi行列式

而，

，

由此可知：当为奇函数时，

，

当为偶函数时，

.

例4 计算积分，区域：

分析 原式

解 因为积分区域是关于、轴对称的，

而为关于、的奇函数，即，故

，

所以

二重积分的对称性4 设关于直线对称，则.

证明 由于关于直线对称，有，即.

例5计算，其中区域由曲线与所围成.

解 区域关于直线对称，点的对称点是令，.因为

，所以

；

又因为,所以

，

其中是直线与之间的部分

故

3.2三重积分计算

积分区域上的三重积分有类似于二重积分的性质

三重积分的对称性1 若关于坐标面对称，当时，有

，

当时，有

.

(其中是的前半部分：)

三重积分的对称性2 若关于坐标面对称，当时，有

,

当时，有

.

(其中是的右半部分：)

三重积分的对称性3 若关于坐标面对称，当时，有

，

当时，有

.

(其中是的上半部分：)

例6 计算三重积分，其中由平面，，，所围成的四面体.

解 积分区域是关于原点对称的，被积函数是关于，，的奇函数，故

例7 计算三重积分，其中是由球面所围成的空间闭区域.

解 积分区域关于面对称，被积函数是的奇函数，由三重积分的对称性3得

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