方向导数与梯度的应用
2023-07-19 08:07
论文总字数：3940字
摘 要
本文以三元函数在给定点的方向导数与梯度为基础，重点论述了怎么样根据方向导数与梯度的性质来解决不同类型的题，得出了解决此类问题的一些方法和结论。关键词：偏导数，方向导数，梯度
Abstract: In this thesis, based on the concepts of directional derivative of function with three variables at some point and gradient,it is discussed that the ways of solving different types of problems according to the natures of directional derivative and gradient，some methods have been got .
Keywords：partial derivative, directional derivative, gradient
目 录
1 引言…………………………………………………………………………4
2 方向导数的概念、几何意义、公式、相关知识及解题应用……………… 4
2.1 方向导数的概念…………………………………………………………… 4
2.2 方向导数的几何意义…………………………………………………… 5
2.3 方向导数的公式 ……………………………………………………… 5
2.4 用方向导数求隐函数极值的相关知识 ……………………………… 5
2.5 方向导数在解题中的应用……………………………………………… 6
3 梯度的概念、几何意义、计算公式及解题应用 ……………………… 7
3.1 梯度的概念 ………………………………………………………… 7
3.2 梯度的几何意义 ………………………………………………………… 7
3.3 关于梯度的计算公式 ………………………………………………… 8
3.4 梯度的解题应用 ……………………………………………………… 9
结论 ……………………………………………………………………………10
参考文献 …………………………………………………………………… 11
致谢 ………………………………………………………………………… 12
1 引言
在解决许多实际问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还得设法求得函数在其他特定方向上的变化率，这也就是我本文要引出的问题之一：方向导数［２］的应用.而方向导数与梯度［２］有密切的联系，都是在偏导数的基础上进一步研究的.本文从方向导数与梯度的定义着手，进行解题研究和实际应用．
2 方向导数的概念、几何意义、公式、用方向导数求隐函数极值的相关知识及解题应用
2.1 方向导数的概念
定义 1 设三元函数在点的某领域有定义，为从点出发的射线，为上且含于内的任一点，以表示与两点间的距离.若极限
存在，则称此极限为函数在点沿方向的方向导数，记作
，或．
容易看到，若在点存在关于的偏导数，则在点沿轴正方向的方向导数恰为
．
当的方向为的负方向时，则有
．
2.2 方向导数的几何意义
设曲面的方程为（），当限制自变量沿反向变化时，对应的空间点形成过的铅垂平面与曲面的交线，这条交线在点有一条半切线，记此半切线与方向的夹角为，则由方向导数的定义得
．
2.3 方向导数的公式
定理 1 ［２］ 若函数在点可微，则在点沿任一方向的方向导数都存在，且
其中为方向的方向余弦．
2.4 用方向导数求隐函数极值的相关知识［５］
设函数在点的某个邻域内连续，并且存在连续的偏导数，且有，，，，在的去心邻域内任取一点，令，表示点出发的并且经过的一条射线。
- 如果在点的去心邻域内与是异号的，则由确定的隐函数在处取得极小值。
- 如果在点的去心邻域内与是同号的，则由确定的隐函数在处取得极大值。
- 如果在点的去心邻域内与是又有同号又有异号的点，则由确定的隐函数在处不取极值。
2.5 方向导数在解题中的应用
例1 求函数在点沿方向（其方向角分别为）的方向导数．
解 易见在点处可微，故
，
利用定理1得
=5．
例2［５］ 求由隐函数所确定的函数的极值．
解 ，，，
由此可知它在处的偏导数，是不存在的．
在的去心领域内任取一点，令，
则，，，所以有
并且，则它们是同号的，
可知由隐函数所确定的隐函数在处取得极大值．
例3［３］ 设为中个线性无关的单位向量，函数在中可微，方向导数，试证常数．
证 记 因为，
应用方向导数公式，得
，. （1）
又因为线性无关，故
，
从而（1）式只有零解.
.
记 ，
根据微分中值公式，
.
因此得证 常数．
3 梯度的概念、几何意义、计算公式及解题应用
3.1 梯度的概念
定义2 若在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量（）为函数在点的梯度，记作
．
向量的长度（或模）为
3.2 梯度的几何意义
在定理1的条件下，若记方向上的单位向量为
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