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摘 要

线性方程组是高等代数理论发展的基础，它与高等代数中的很多概念和理论都存在联系，比如矩阵、线性相关、线性空间等等理论。本文在梳理了线性方程组及高等代数各主要理论知识点的基础上，通过具体实例说明线性方程组与高等代数重要知识点间的联系。

关键词：线性方程组，高等代数，矩阵，线性空间

Abstract: Linear equations is the basis for the development of advanced algebra theory, it is with many of the advanced algebra concepts and theories there is a link,such as linear equations, linear correlation, linear space, etc. On the basis of a simple sort of linear equations and higher algebra of the main theoretical knowledge, through concrete examples of contact linear equations and higher algebra important points between.

Keywords:linear equations,advanced algebra,matrix,linear space

目录

1引言 4

1.1 研究背景 4

1.2 研究意义 4

2 线性方程组的定义及求解方法 5

3 线性方程组在高等代数知识点中的渗透与应用 7

3.1 线性方程组在矩阵理论中的渗透与应用 7

3.1.1 线性方程组与矩阵 7

3.1.2 基于矩阵描述下线性方程组的基本理论 8

3.1.3 线性方程组在矩阵中的应用 9

3.2 线性方程组在线性空间中的应用 10

3.3 线性方程组与向量组的联系 12

3.4线性方程组与二次型的联系 14

结论 16

参考文献 17

致谢 18

1引言

1.1 研究背景

高等代数课程是大学数学专业的重点专业课程,一般在大学一年级开设,它是数学专业的一本基础课程,与数学分析课程一起组成大学数学专业的两块基石,其中数学分析是对初等数学中函数理论的延续及再深造,而高等代数则是对初等数学中代数部分乃至几何部分的再研究及深入剖析抽象化数学符号间的特定关系,它从一开始就再次重新论述了学生初高中就早已接触且基本都能正确求解的线性方程组的解法,从而逐渐展开到各个知识点,而当将高等代数中的重要概念高度抽象化后,就发展成为了抽象代数（也称近世代数）.可见高等代数充当了一个桥梁的作用,首先衔接初等数学内容,带领学生逐步转变数学学习思维,以适应具有高度抽象性的大学数学知识,同时又衔接了更高层次的数学内容,为学生的继续深造做铺垫.可见,学好高等代数对数学专业学生而言是非常重要的要求.

但是,不得不提的是,高等代数由于内容体系较为庞大,且由于中学教育与大学教育在衔接上出现严重的断层,因而存在大学的教学模式完全不同于初、高中的教学方式与安排,而且在平时的课堂讲解中,每个知识点都是具有高度的抽象性,并且越往后走,知识点越发的抽象,课堂讲解模式也不再是中学阶段的知识点重点讲解然后进行反复练习加以巩固,所以也就导致了目前现行的主流高等代数教材^[1-4]中,在每一章每一小节中都是首选开门见山的进行大量的概念堆积,这样就特别容易形成学生好不容易在当堂课中基本上听明白老师讲授的知识点,但自己做题时却完全没有思绪与方法可循的现象,久而久之,大量学生就会由于对概念、基础理论与性质理解的一知半解,以及前后知识点不能在自己大脑中形成很好的关系网而出现对高等代数这门课程的学习变得心有余而力不足,进而影响整个大学数学知识的学习.虽然如此,但由于高等代数的重要性及其作为大学数学专业的基础学科,我们必须尽力对其重要概念及理论做到透彻理解,这就需要我们找到一条能带领我们逐渐打开高等代数的学习之路.因此,线性方程组就是我们学好高等代数的主要线索.从线性方程组出发,逐步的理解高等代数中矩阵、行列式、线性相关及线性空间的概念及知识点,最终帮助我们自己在脑中形成全套的高等代数理论体系.

1.2 研究意义

由于高等代数在大学数学专业中的基础学科地位,及其作为数学各个理论分支的研究基础与工具,所以学好高等代数是对每一位数学专业学生的基本要求.而由于高等代数理论系统的庞大性与抽象性,以及大学数学学习、以及教学模式与中学课堂模式的差异性导致大量学生认为高等代数内容抽象且不易理解,从而对高等代数的学习望而却步,只知其一,而不能进行举一反三.通过研究高等代数的发展历史不难看出,线性方程组的深入研究是高等代数理论形成与发展的基础,它作为一条研究主线几乎贯穿了整个高等代数理论体系.而且从教育学与心理学层次来讲,当赋予一个较为抽象的事物具体的实物背景后,随着研究的深入,该抽象的事物轮廓会逐渐变得清晰起来^[3].所以,本文从线性方程组的理论出发,探究线性方程与高等代数中主要内容——如矩阵、行列式、线性相关及线性空间——之间的关系,从线性代数出发帮助学生更好的学习、理解与反思高等代数中各个知识点的主要内容,从而帮助学生建立完整的高等代数理论体系,为之后的数学理论分支学习夯实基础.因此,对本课题的研究具有很大的理论意义.

2 线性方程组的定义及求解方法

在初等数学中,因为求解非线性方程组的问题涉及到数值分析的内容,所以,初等数学中不考虑求非线性方程组的问题,因此特别强调线性与非线性的定义,对于一般给出的方程组,都是线性的,未知量个数与方程个数相同,且未知量个数一般不会太多,常见的有二元一次方程组、三元一次方程组等,对于这类问题的常规解法就是方程组中几个方程间进行加减消元,目的是最终得到一个只关于一个未知量的等式,从而求出该未知量的值,然后代入求解第二个未知量的值,如此反复最终完全求解出方程组的值.因为涉及的方程个数不多,所以中学阶段对于此部分的学习是相当轻松的,因为只要清楚解方程组的原理,那么求解过程是相当机械的.而到了大学阶段之后,线性方程组的难度就加大了,首先未知量个数与方程个数一般不相同,其次方程组中方程的个数加大,而不再是二个、三个的简单情形.所谓一般线性方程组是指形式为

（1）

的方程组,也可以记为

.

其中、、…、为未知量,（、）为未知量前的系数,（）是常数项.需要注意的是,（1）中与不一定相等.满足方程组（1）的,,…… ,称为方程组（1）的解.

例1 解线性方程组

解 交换方程组①与②的位置得

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