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摘 要

：行列式计算的技巧性特别强。理论上,任何一个行列式都可以按照定义进行计算,但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时几乎是不可能的。本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上,结合历年数学专业硕士研究生入学考试试题特征性进行分析,对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨。总结出定义法、化三角形法、降阶法、加边法、递推法、数学归纳法、范德蒙特行列式法、拉普拉斯定理等8种计算技巧和途径。


关键词：

Abstract: People should have much more special skills of determinant calculation. Theoretically, every determinant can be calculated in accordance with its definition, however, it is almost impossible to calculate these determinants without he help of computers. The paper is based on the summary of the methods of regular determinant calculation, and then makes an analysis of the characteristics of the examinations, which arose from masters of mathematics majorstudents in recent years, to have a futher discussion on the methods and skills of eterminant calculation. The paper sums up about eight methods of eterminant calculation, definition method, triangle method, method of reduction of order, embordering method, recursive method, mathematical induction, Vander Monte determinant method and the Laplasse theorem.

Key words: n order determinant; character of the determinant; methods of calculation;skills of calculation

目 录

1.前言…………………………………………………………………4

2. 行列式的计算方法………………………………………………5

2.1 定义法……………………………………………………………5

2.2化三角形法………………………………………………………6

2.3降阶法……………………………………………………………7

2.4加边法……………………………………………………………9

2.5递推法……………………………………………………………11

2.6数学归纳法………………………………………………………13

2.7范德蒙特行列式法………………………………………………14

2.8拉普拉斯定理……………………………………………………16

总结……………………………………………………………………17

参考文献………………………………………………………………18

致谢……………………………………………………………………19

1. 前言：

行列式概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家，微积分学奠基人之一莱布尼兹。1750年克莱姆在他的《线性代数分析导言》中，发表了求解线性系统方程的重要基本公式，即人们熟悉的克莱姆法则。1764年，Bezout把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程，Bezout证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。Vandermonde是第一个对行列式理论进行系统的阐述的人，并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。Laplace在1772年的论文《对积分和世界体系的探讨》中证明了Vandermonde的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，用r行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家Jacobi也于1841年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国伟大数学家柯西，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现了两行列式相乘的公式及改进并证明了Laplace的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是拉格朗日。拉格朗日期望了解多元函数的最大最小值问题，其方法就是人们熟知的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为零，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正负的定义。高斯大约在1800年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。

行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要 对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题方法进行总结归纳。
我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的1个独立结构。作为行列式本身而言，我们可以发现它的2个基本特征，当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得非常简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想。这也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶来揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们衍生出的具体方法。作为特殊的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。上面这些方法是基于行列式这一结构内部的，作为行列式与其它知识的联系，特别是多项式、矩阵的密切关系，我们将得到一些其它的方法。

级行列式的定义：级行列式等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和。

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