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摘 要

数形结合就是把问题的数字和图形结合起来考察，根据问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究。在高等数学学习中运用数形结合，能使抽象的问题直观、简单、明了，使学习轻松有趣。文章从概念、定理的理解以及解题等方面归纳总结了数形结合思想在高等数学中的应用。

关键词: 数形结合，图形思维，几何直观，形象思维

Abstract：Combination of number and shape is combining the question of number and shape, according to solving the question need, we can transform them each other .Combination of number and shape , put to use in higher mathematics , can make the abstract problem visual , simple and clear , and make the study easy and happy . This article sums up the use of combination of number and shape in higher mathematics from concepts , theorems , and how to do the mathematics problem , and other ways .

Key words ： combination of number and shape ;graphical thinking ; visual geometry；imaginational thinking

目 录

1.引言…………………………………………………………………………………… 3

2.利用数形结合深化对概念的理解………………………………………… 4

2.1概率论中的数形结合思想……………………………… ……………… 4

3. 利用数形结合思想加强对定理的理解与证明…………………… 5

3.1微积分中的数形结合思想……………………………………………… 5

4.利用数形结合思想帮助解题……………………………………………… 7

4.1解决初等代数中的问题…………………………………………………… 7

4.2数形结合在解析几何中的体现………………………………… … … 11

结论 ………………………………………………………………………………… 12

参考文献 …………………………………………………………………………… 13

致谢 ………………………………………………………………………………… 14

1.引 言

数形结合就是“以形助数”或“以数解形”，就是充分的利用数与形的结合来学习，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的。“数”与“形”反映了同一事物两个方面的属性。数就是抽象的数学语言，有着逻辑，严谨的个性，一般较为抽象，难懂。而形就是图像语言，直观，形象，一般是较为简单易懂。数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种基本形式，一是“形”的问题转化为用数量关系去解决，运用代数、三角知识进行讨论，它往往把技巧性极强的推理论证转化可具体操作的代数运算，很好的起到化难为易的作用。在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。二是“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点。著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”。它在学习高等数学过程中解决数学问题上有着重要的作用。数形结合思想能培养各方面的思维能力，包括形象思维和逻辑思维。深化对数学概念的理解，提高解题速度和效率。由此我们可以看出数形结合思想是重要的数学思想之一。

数形结合思想在解题过程中应用十分广泛。本文研究数形结合思想在高等数学中的部分应用，主要分为数形结合思想在高等数学中对概念的理解，对定理的掌握及证明，以及对解题的作用作一次探讨，谈谈高等数学中的一些数形结合思想的应用。如：在解决概率论问题中，对条件概率定义的理解，在数学分析中关于微积分的一些定理的证明，如积分第一中值定理的证明，取极值的第一充分条件的证明，还有一些是初等数学中的问题，如：在集合问题中求两个集合的交集，求函数的值域和最值问题，解方程和解不等式问题，解决线性规划问题，解决解析几何问题中都有体现，运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程。

总而言之数学中处处渗透着数形结合思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个数学的教学课程。本文就针对数形结合思想在高等数学中的应用简单谈一下自己的看法。

1. 利用数形结合深化对概念的理解

利用数形结合法便于我们对概念的理解和记忆。与空间图形巧妙地结合起来，可增强解题中的意识，根据问题的条件与结论的内在联系，既分析数学特征，又揭示几何意义。任何知识的产生和发展都来源于对实践的认识，在对数学的认识过程中，更是如此。通过数形结合提高对数学知识的认知能力。数学中的很多知识体系都与形象直观的几何图形有关。故利用数形结合直觉体验知识的发展经历，能加深对概念的认识、理解，和应用，并提高解决问题的能力和自主学习能力。

2.1 数形结合对概率论中概念的理解作用

在概率论中的维恩图就是利用了数形结合的思想，它能够能清晰、准确生动地说明A∪B，A∩B， 等问题。在概率论中事件也可以用集合来表示，如果我们结合维恩图来理解事件之间的关系，利用维恩图来计算事件发生的概率，比用公式进行推导、计算要简单、直观的多，且不容易出错。来看一个维恩图表示的条件概率的例子。

定义^【1】：设A与B是样本空间Ω中的两事件，若P(B)gt;0,则称

P(A|B)=

为“在B发生下A的条件概率”，简称条件概率。

为此我们画出一个图，设样本空间Ω中含有26个等可能的样本点，事件A含有17个样本点，事件B含有7个样本点，交事件AB含有5个样本点，如图1所示：

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