浅析矩阵相乘可换的条件
2023-05-31 09:05
论文总字数：5272字
摘 要
本文研究了矩阵可交换的一些性质和条件，并且给出了几类特殊的可交换矩阵.关键词：可交换矩阵，阶，对称矩阵，逆矩阵
Abstract：In this paper we study some properties and conditions of exchangeable matrices, and introduce several kinds of special exchangeable matrices.
Key words: exchangeable matrix, order, symmetric matrix, inverse matrix
目 录
1引言……………………………………………………………………4
2 可交换矩阵的定义及性质………………………………………………4
3 矩阵相乘可交换的条件………………………………………………8
3.1矩阵相乘可交换的充分条件…………………………………………8
3.2矩阵相乘可交换的充要条件…………………………………………… 10
3.3 几类常见的可交换矩阵………………………………………………… 11
4 可交换矩阵的应用…………………………………………………11
结论……………………………………………………………………15
参考文献……………………………………………………………………16
致谢 ……………………………………………………………………17
1.引言
矩阵是贯穿高等代数的核心，本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究和探究，归纳总结了可交换矩阵的一些条件和性质，及其在代数解题中的一些应用，并对此进行了举例论证.
- 可交换矩阵的定义及性质
定义2.1 如果两个矩阵与满足,则称矩阵与是可交换的.
当然，矩阵相乘不满足交换律时，原因可能有以下几种
- 与都有意义，但是阶数不一定相等.
例如 ,，有
，
.
其中是阶的，而是阶的，所以,因而不可交换.
2）是有意义的，但不一定有意义.如
,
而是没有意义的,所以 不可交换.
3）和都有意义，并且它们的阶数也相等时，仍然有可能出现.
例如 ,则
,
而
，
此时，和都是阶的，但是. 故不可交换.
性质2.1 如果可交换，则.
分析 利用可交换的定义证明.
证明 因为
，
.
另外可交换，即
，
所以
.
性质2.2 若可交换，则.
证明 因为
,
又因为可交换, 即
.
所以
,
同
.
故
.
性质2.3 若可交换，则,.
证明 因为可交换,所以.
故
，
.
性质2.4 若可交换，则，其中是的多项式，即与的多项式可交换.
证明 因为与的任意多项式与相乘的结果展开的每一项都是与的形式，其中，皆为正整数.所以要证明这个命题，只要证与可交换.
由性质2.3可得,若可交换，与可交换.从而可以证明得到与的多项式可交换.
性质2.5 若与可交换，而且是可逆的，则,也可交换.
分析 要想证明,也可交换，就要得出.已经得知了是可逆的， 并且与可交换，所以尝试以下证明.
证明 因为可交换, 所以.又因为可逆，所以存在.
所以
, ，
.
故,可交换.
性质2.6 如果与可交换，且是正交矩阵，则,也可交换.
分析 该证明可以参照性质2.5的方法得出证明.
证明.因为可以交换,所以,又因为是正交矩阵,
所以
,
.
故,可交换.
性质2.7形如,其中的二阶上三角矩阵的交换矩阵仍是二阶上三角阵且，其中， ,为任意实数，则可交换．
证明 由已知可得
,
又因为，，所以. 故可交换 .
性质2.8 若与可交换,则
.
证明 由数学归纳法得
当时，由性质2.1得等式成立，即
.
假设时，等式成立，即
.
当时，由已知的，可得
=
=.
由性质2.3有，，,,
=
=
=,
即
.
由性质2.3得
，
因而
.
性质2.9 设可交换，则有
(1)设均为对合矩阵，则也为对合矩阵.
(2)若都是幂等矩阵，则也为幂等矩阵.
证明 (1)因为都是对合矩阵，所以
.
又因为可交换，则
.
所以
.
因而也是对合矩阵.
(2) 因为都是幂等矩阵，所以
.
又因为可交换，则
.
所以
.
故也是幂等矩阵.
3．矩阵相乘可交换成立的条件
3.1矩阵相乘可交换成立的充分条件
定理3.1.1 设，则可交换.
证明 由可知均可逆，且它们互为逆矩阵，所以
，
故
,
即可交换.
定理3.1.2 (1) 设，其中为正整数，为非零实数，则可交换.
(2)设，其中为非零实数，则可交换.
证明 (1)由,可得
.
由定理3.1.1知，
.
所以,
.
因而可交换.
(2)由，可得
.
即
.
由定理3.1.1知
,
，
所以
.
故可交换.
定理3.1.3 (1)设可逆，若,或或，则可交换.
(2)设均可逆，若对任意实数，均有，则可交换.
证明 (1)若，由可逆得
.
所以
.
因而
.
同理可得
若,则
.
所以
.
若,则
.
所以
.
故可交换.
(2)由均可逆可以得出
=
==
=，
两边取逆，可得，因而可交换.
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