本科毕业设计（论文）

数学家讲解小学数学

作者：Hung-Hsi Wu

国籍：美国

出处：北京大学出版社

中文译文：

22.1. 比例

给定两个非零分数M,N,假定我们想用乘法而不是加法的观点来比较它们，即考虑 而不是 M minus; N.M和N可以表示两块火腿的重量，单位是磅，也可以表示两瓶橙汁的体积，单位是升，还可以表示两条曲线的长度，单位是厘米，等等.一般我们把这些情况下的 M和N称为量.在每种情况下，我们都默认选定了某个单位，使得M和N以它为共同的单位.(因此如果两块火腿，一块用磅做单位，一块用千克做单位，我们就不愿意做比较了.)换句话说，M和N是同一个数轴上的点.设a和b是非零分数，如果

.

则称M与N的比例是a:b.因此比例不是别的，它只是一个简单的除法.

注意到，如此定义的比例是--个繁分数.另外，根据中小学数学基本假设，我们也可以对于任意的两个(正)实数定义它们的比例.例如，pi;是一个圆的周长与其直径的比例，此时就要用到不是分数的数.

这个奇怪的记号a:b是由戈特弗里德.莱布尼茨(Gotfried Leibniz,1646-1716)首次使用的.因此，如果采用这个记号，第13章中的等价分数就有如下形式:对于任意自然数a,b,c,其中cne;0,有a:b=ca:cb.比例这个概念使很多人感到困惑，原因之一极有 可能是这个符号太奇怪了.你当然可以让这个符号-一闪而过，只需要记住a:b就是除法即可。当使用符号a:b时,a和b通常是(但不总是)自然数.

用除法来定义比例能使你更清楚更准确地理解它，比用本章开场白中提到的任何一一种方法都更好一些我们的首要任务就是通过这样做来增强你的自信心.

思考下面这句话:“礼堂里男孩与女孩的比例是4:5”.在分析这句话之前，我们指出，这里有一些常见的(但是大家认可的)滥用语言的现象:“男孩与女孩的比例是4:5”的意思是

男孩人数与女孩人数的比例是4:5.

因此分别设男孩人数为B,女孩人数为G,则我们有 .注意B和G都只能是自然数，应用交叉相乘法则可知，上述等式等价于

.

设 和 的共同的值等于一个分数，记做U，则

.

现在把B和G置于同一数轴上，其中数轴的单位“1”是“一个人”，于是就有：

但是这意味着，如果令U为数轴的新单，则B=4，G=5,如下所示:

U通常当给定的B和G都是具体的自然数(例如.36个男孩，45个女孩)时，B总是4的倍数G总是5的倍数，因此U实际上是一个自然数.一般的，是既约分数这一事实也蕴涵着U是一个自然数.因此，我们得出结论:

(1) 设男孩人数B与女孩人数G的比例是4:5,则存在个自然数U，使得

.

因此男孩可以被平均分成4组，每组U个男孩;女孩可以被平均分成5组，每组U个女孩.

我们可以讨论得更深一一 些上述分析利用了自然数除法的“平均分”解释(见第7章)来描述 . 我们也可以利用“包含除”解释来分析.再令，则

.

这意味着如果我们把男孩按照每4人组来划分，那么有U个这样的组.同样的，如果把女孩按照每5人组来划分，那么也有U个这样的组于是，我们得出另一个结论:

(2) 设男孩人数B与女孩人数G的比例是4:5,如果我们把男孩按照每4人组来划分，把女孩按照每5人一组来划分，那么所得的男孩组的个数与女孩组的个数相等.

前面例子中的两个量(男孩人数和女孩人数)都为自然数的一个特例，因为比例A:B中的A和B都是自然数，U恰巧也是自然数(事实上它就是自然数) .如果U=不是自然数，那么结论(2)没什么意义，但是结论(1)的推理过程非常具有一般性，我们把这种一般情况表成个定理.请回忆，根据中小学数学基本假设，我们可以把任意一个数默认为是分数.

定理 22.1. 设两个量 M与N的比例等于一个给定的单位a:b,其中a,b都是非零自然数.则存在一个分数u,使得

.

特别的，如果将M平均分成a个相等的部分，N平均分成b个相等的部分，那么两种情况下，每部分的大小相等，都是u.

这个定理要求比例a:b中的a和b是自然数，而不是分数.这点其实几乎没有什么限制性，因为如果a和b是分数，那么存在自然数m和n，使得 则

.

因此，我们可以把a:b替换成m:n,此时m和n就是自然数了.

证明.由假设可知， . 于交叉相乘法对繁分数的情形也成立(参见第19.1节中的法则(c)，所以我们有， .定义分数u = . 于是立即有 .定理的后一个结论是自然数乘法定义的直接结果:(a 次),且bu = (b 次);(参见第17.2节中的(17.3).)证毕.

如果在比例a:b中，a和b不是自然数，而是分数，那么比定理22.1较弱的一个结论依然成立.在这种情况下，回忆第17.3节中讲过的，表示 份 (特别的,参见从等式(17.7)到例1之间的讨论.)

定理 22.2. 设两个量 M与N的比例等于一一个给定的单位a:b,其中a,b都是非零分数，则存在一个分数u,使得

.

特别的，M等于a份u,N等于b份u.

证明. 本定理的证明在本质上与定理22.1的证明相同.根据假设， .由于交叉相乘法对繁分数的情形也成立，所以我们有 .定义分数 . 于是立即有.定理的后一个结论是第 17.3节分数乘法第 二种解释(17.7)的直接结果，证毕.

在中小学数学中讨论比例a:b时，a与b是自然数的情形无疑是最重要的，并且要数上面男孩女孩的例子最为典型.如果学生对这个例子至少有一个最基本的理解，那么他们就是好样的.可以推测，如果“男孩与女孩的的比例是4：5”这句话在教科书中定义成本节中结论(1)或(2)的形式，那么学生可能就不会为这句话在教科书中定义成本节中结论的意思而感到困惑了，但是至今还没有教科书这样做过.此外，我们现在来看看把比例定义成除法有什么好处:

(i) 这个定义不仅简单而且一点儿也不模糊，因为比例是一个数(不是什么难以形容的东西)，而且除法也已经详细地定义过.

(ii)这个定义使得结论(1)和2)给出的比例的意思成为必然的逻辑结果.

(iii) 这个定义不需要其他任何新的概念，只需要已知的除法.

(iv) 作为除法，比例可以直接用来进行符号运算.

我们来强调一下最后一点，把除法作为比例的定义有利于直接用做计算解决问题时需要计算，随着计算的深入，知道4:5是分数 远比知道它是“每有四个男孩都对应五个女孩”要强.而用“每有四个男孩都对应五个女孩”能做什么呢?事实上，这又是什么意思呢?

下面给出一些关于比例的有启发性的例子.对于这些例子的解答，需要强调的点是，尽管熟记定理22.1和22.2并应用自如是一件好事，但是读者也应该能直接从比例的定义得到解答.

问题 1. 一个教室里有27个学生，男生与女生的比例是4:5.请问男生和女生各有多少人?

我们用三种不同的方法来解答本题。每一种方法都值得学会， 设男生与女生的个数分别为B和G.我们已知 .

解法一. 在等式 两边同时乘以G,得到B = .把B的这个值代入到式子我们就有, 因此根据分配律, . 于是,所以

从而.

读者应该习惯做检验:, 这就与男女比例是4:5相吻合.

解法二. 据定理22.1,我们知道存在某个数u，使得. 因为 ,所以 则.于是 .

解法三. 这种方法利用了数轴，对于初学者来说可能是三种方法中最吸引人的.但是在描述这种方法之前，必须要有个正确的认识:掌握图形解法是-件好事，但同时请记住，上面两种解法中对符号的操作过程都非常基础，请你无论如何都要学会.所以不仅要掌握图解法，也要掌握另外两种方法.

我们再一次从等式 开始，在等式两边同时乘以G,得到. 接下来是重要的一步:我们要用第17.3节中的等式(17.7)关于分数乘法的第二种解释来描述这个等式因此，把所有女生平均分成5部分，取其中4部分所得的人数就是B.下面是图解:如果数轴的单位表示一个学生， 那么G是数轴上的一一个自然数，并且我们可以把线段[0,G1平均分成5部分.

现在 因此线段 [0, 27] 平均分成9个长度相等的部分，从而每部分的长度等于3,因此, 我们得到了与前面一一样的结论.

因为上面的解法会使你隐约想起曾经遇到过的比例问题的解法，所以存在着这样的危险，你可能会以为上述解法与以前的解法没什么区别而觉得理所当然因此，我们指出，前面推理的每一步都基于准确的定义或已证明的定理。比如，我们用到了比例的除法定义以及已经证明过的分数乘法的解释(17.7).我们从来不建议你事先对比例有所理解，也不建议你模糊地理解分数乘法中“的”的含义这与通常教学比例问题的过程有着天壤之别.

附：外文原文

22.1. Ratio

We are given two fractions M and N, both nonzero. Suppose we want to compare them multiplicatively rather than additively, in the sense that we want to consider the division rather than M minus; N.M and N may be the weights of two hams measured in pounds, the volume of two pitchers of orange juice measured in liters, the lengths of two curves measured in cm, etc. We will generically refer to M and N in such situations as quantities. In each situation, it is understood that a specific unit has been chosen for the measurement and both M and N are measured in terms of the same unit (thus we do not want to compare the weight of two hams, one measured in pounds and the other in kilograms). In other words, M and N are points on the same number line. We say the ratio of M to N is a : b, where a and b are nonzero fractions, if

.

Thus a ratio is simply a division, ab , no less and no more.

Observe that a ratio, so defined, is a complex fraction. Observe also that, in view of FASM, we may consider a ratio to be defined also for any two (positive) real numbers.For example, the number pi; is the ratio of the circumference of a circle to its diameter so that, in this case, numbers that are not fractions will have to be used.

The strange notation a : b was first introduced by Gottfried Leibniz (1646–1716). Thus in this notation, equivalent fractions (Chapter 13) would take the form a: b=ca:cb for all whole numbers a, b, and c,where b,c0.It is quite possible that this strange notation is part of the reason for the mystification of the concept of ratio. You wil

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