零点位置的初等证明外文翻译资料
2023-02-27 10:02
零点位置的初等证明
J.N.Ridley
介绍：零点的位置在近似理论中起着重要作用，因为在分子或分母的零点附近，多项式或有理函数的近似可能不精确。在[1]中，Borwein和Chen证明存在由积分定义的某些函数序列的零点逼近的渐近曲线。
Driver和Duren[2][3]观察到，由于欧拉的积分表示，假如, , and ，超几何函数符合Borwein和Chen定理的条件；该函数实际上是度数的多项式，因为。他们计算出，当时，渐近线接近零，正如定理所预示的那样，是一个圆弧。然而，在使用Mathematica验证他们的结论时，他们惊奇地发现，零点精确地放在圆上，即使是的小值。此外，进一步的实验表明，和对的依赖性是无关紧要的——似乎有, , 和就已经足够了。他们能够通过直接计算证明的结果，但是这里提出的证明是被发现的第一个很一般的证明。[3]中给出了一个使用超级球型多项式的更有技术含量的证明。
超几何函数由无限序列定义
，
收敛于，这里波赫哈摩尔符号按照如下方式定义：
，，
需要注意的是可以表示成一个与有关的二项式系数，因为
，
当，这个结果是真的。
起点是引理0中的定义，其中一个使用欧拉的和分析延续的积分表示的证明出现在[3，引理1]中。至少有其他两个更具组合性质的证明是已知的。
引理0：如果那么
第一步：引理0中的表达显然是一个离散的卷积，它立即提出了使用生成函数的方法。事先改变符号是很方便的，因此我们定义
然后通过引理0
，
使用二项式系数的表达式。
多项式的指数生成函数为
扩展适用于，并且通过柯西积分定理提供的积分表达式，或者通过泰勒定理提供作为第n个导数的表达式。又有一些令人惊讶的是，后者是提供的关键。
引理1：
现在已经将问题降低到确定当时，第n个导数消失的的值。
第二步：定位一般二次方的幂的第n个导数的零点有点让人觉得可怕，但是如果二次方是简单的，那么问题就变得容易了。我们定义
，
它是度数n的多项式，我们用表示它的主要系数。特别地，，所以。
引理2：如果且，那么的所有n个零点都是不同的，并且位于实轴上。
证明：证明是通过归纳，使用类似于特殊功能理论中使用的“零交错”论证。结果对于显然是正确的。对于归纳阶段，我们首先获得的递归表达式。
（*）
如果我们看一下主导系数，那么我们可以看到
因此，如果且，那么所有的主导系数都具有相同的符号。实际上，，因为。
令以递增的顺序表示的n个不同的实数零。从（*）式它遵循下式
，
所以和有不同的符号。如果，那么和没有零点且符号相反，因为这里没有重复的零点。因此，和也是符号相反的，然后通过中间值定理，在开区间中有一个零点。
对于，最大的一个零点，和主导系数有着一样的符号，与有着相同的符号。因此与有不同的符号，所以有一个比更大的零点。相似的，有一个比更小的零点，从而完善了归纳。
如果一个转换完成了平方且使用相似度，那么从到一般二次的转换结果并不像预期那么困难。
最后的结果：
引理3：若且，如果，那么式的零点位于在平面中连接1和的线段的垂直二等分线上。
证明：通过完成平方，可以通过作为相似变换的仿射变换从的倍数获得具有不同零点的任何二次函数。取第n个导数仅引入另一个不影响零点位置的常数因子。通过引理2，的n个零点位于实轴，那是连接的两个零点的线段。通过相似性，根据要求，的n个零点位于连接的两个零点的线段的垂直二等分线上。
定理：对于非零的，的零点位于单位圆上。
证明：因为且，我们要求出使得的值。通过引理1，当且仅当
，。
通过引理3，第n个导数为零的的值都位于连接点和的线段的垂直二等分线上。（注：，因为。）因此，若，那么的点位于垂直二等分线上，即，和1是与0等距离的，所以。
的零点和的零点间的关系可以通过相似性得到。对于和的每一个零点，在平面中具有顶点，，的三角形分别与平面中具有顶点0，，1的三角形相似。容易理解，是从实线到单位圆的熟悉的Mouml;bius转换。
致谢：我感谢Kathy Driver和Peter Duren如此自由地与我进行研究，感谢Mike Mays和西弗吉尼亚大学给我我进行了访问任命，使我准备了这篇文章。
参考文献
- P. B. Borwein and W. Chen, Incomplete rational approximation in the complex plane, Constr. Approx, 11(1995)85-106.
- K. A. Driver and P. L. Duren, Asymptotic zero distribution of hypergeometric polynomials, Numer. Algorithms, to appear.
- K. A. Driver and P. L. Duren, Zeros of the hypergeometric polynomials , Indag. Math, (N.S), to appear.
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