本科毕业设计（论文）

外文翻译

用圆，矩形和数字线表示法分析小学儿童的分数知识

作者：Zelha Tunccedil;-Pekkan

国籍：土耳其

出处：《斯普林格自然杂志》

中文译文：（小四，宋体）

二、背景文献和研究问题

　　为了能够用分数概念化学生的理解以及外部图形表示对这些概念化的影响，我们需要查看与学生的分数知识构建和外部图形表示的使用有关的文献。我将文献部分分为三个重要的子部分，最终将导致本文研究的研究问题：2.1）具有外部图形表示的分数子构造和分数方案理论； 2.2）线性与非线性连续表示以及分数知识 ，2.3）与儿童对数字线上的分数概念有关的研究。

(一) 带有外部图形表示的分数子构造和分数方案理论

在文献中，Kieren（1976）对分数的解释被很好地引用：零件/整体，商，算子，比率和度量。 Charalambos和Pitta-Pantazi（2007）根据Behr等人（1983）的解释，研究了与这五个子结构有关的学生表现。他们对646名5年级和6年级的塞浦路斯学生进行了广泛的分数测试，结果发现部分整体子结构最简单，而度量子结构最难解释儿童分数。虽然塞浦路斯基础数学课程中这些子结构的顺序和重点可能会对这些结果产生很大影响，但他们建议应进一步研究这些关系。 Charalambos和Pitta-Pantazi（2007）并未说明使用外部图形表示和分数子构造之间的任何明确关系，但他们仅使用离散项和矩形进行整体解释（图2），并使用数字线表示了measure-sub结构（图3）。当教师做出教学决策时，更详细地定义分数知识（而不是部分和度量子构造），以用于问题背景中，并调查学生对与分数知识有关的表示的看法。

图2整个子构造知识的一部分的项目（Charalambos和Pitta-Pantazi（2007），第312页）

图3 测量子构造知识的项目（Charalambos和Pitta-Pantazi（2007），第313页）

Charalambos和Pita-Pantazi（2007）和Kieren（1976）使用的子结构）工作通常是研究人员对理解分数问题如何解决所必需的知识部分的定义。尽管使用分数方案作为术语（目的是描述必要的知识）的目的是相同的，但不同之处在于“方案”是基于对实际儿童解决分数问题时数学活动的观察。在这项研究中，在构建测试项目时将使用分数方案描述的知识，并分析用于与真实学生一起试行测试项目的采访视频。计划（通常保留给Piagetian框架使用）是一种目标导向的活动，由三部分组成：同化情况，活动和结果（von Glasersfeld，1995年））。观察者通常知道方案的活动（内部操作）和结果，因此他们可以根据方案的其他两个部分来推断同化情况。自1995年以来，在以皮亚吉斯计划理论为框架的理解儿童的分数知识的构造及其与整数和代数知识的关系的理解方面有了新的进步（Hackenberg， 2013年； Steffe，2002年； Steffe和Olive，2010年； Tunccedil;-Pekkan， 2008； Tzur， 1999）。哈肯伯格（2013）总结了Steffe和Olive的工作在儿童活动中观察到的方案所产生的发展框架，以及这些分数方案的必要操作，如下所示（此框架称为分数方案理论）：1）整体部分方案，其中仅存在分区操作观察和各部分的结果可能不是“等于”（这是非常类似于用于识别饼图的已分配和阴影图画分数符号的“计数方案”，但是他们没有注意到部分相等），2）整体分数方案这需要“分区和解嵌”（从整体中取出一部分，而不会在不影响整个脑子的情况下）进行操作，例如，对给定的整体进行分区，然后使用一部分将其命名为整体的一部分。在此方案中，由于不涉及迭代操作，因此不检查结果是否实际上是数量的1/4。但是，在整个方案中，将相等的部分和全部嵌入的部分很重要。可以将定义的前两个分数方案视为部分整体子构造。更为发达的分数方案，“超越了部分整体思想”（Hackenberg，2013年，第541页）被称为3）分数单位分数方案。这些方案基于孩子对“分区，解嵌入和迭代”操作的使用。例如，当找到给定形状的四分之一时，学生将形状划分为四个相等的部分，然后取其中一个划分，并对其进行四次迭代以形成整体，以检查答案是否真的是四分之一。原始形状。使用分部分式方案的另一个示例是，当给出数量的四分之一并且要求学生做出原始数量时，查找原始数量。4）部分分数方案：一种超越单元分数情况和Steffe（2002）称为“真正”分数方案（第305页）。该方案包括要求学生找到给定整体的适当分数部分的情况。例如，当给出一个整体数量并要求该数量的3/4时，学生将整个部分划分为4个相等的部分，取出一件，并将其迭代3次，以得到原始数量的3/4。通过主要与中学生一起工作定义的最后一个分数方案是5）迭代分数方案。除了前面提到的操作，对于此方案，还存在拆分操作（同时使用分区和迭代操作），并且有必要协调三个级别的单元。我们在解决未知分数分数不正确或在问题陈述中给出分数分数不正确时要求原始数量的问题的解决方案中观察到该方案。例如，当要求孩子找到给定数量的8/7时（通过将给定数量划分为七分之一并重复第七次八次以得到原始数量的8/7），可以观察到该方案的使用。在这里，孩子需要以1/7作为度量单位（需要进行拆分操作才能知道七分之一的数量），但是在构造8/7时不要忘记它属于哪个整体。因此，这种思想被Steffe定义为三个级别的单位，即1 / 7、7 / 7和8/7的协调。上面提到的五个分数方案有助于我们确定将在本文中使用的定义。前两个分数方案（整体内部和整体部分分数方案）显示了部分整体子构造的特征。最后三个分数方案（分式单位分式，分式分数和迭代分式方案）中，单位分式作为度量单位（及其乘积使用），迭代和拆分运算，单元协调构造起着重要作用并显示出并行性测量子结构的定义。在这项研究中，问题的解决涉及测量文献中提到的所有分数方案，包括迭代分数方案，使用带有圆形饼图，矩形和数字线的情况作为问题陈述中的表示。

Charalambos和Pitta-Pantazi（2007）将整个部分的子结构描述为在连续或离散数量上具有相等的部分，并且将多个部分与整个部分的总数进行比较。孩子们在分数方案理论中如何进行这种比较，在确定学生使用的操作（分区与分区以及去嵌入）方面有所不同，因此为我们提供了有关学生可能具有哪些乘法推理以及他们的发展水平的更多信息分数思维是（乘法概念1与更发达的乘法概念2，请参阅Hackenberg，2013年），第541页）。此外，Charalambos和Pitta-Pantazi进行了一些研究，从学生的整个部分重建整体，作为学生使用部分整体子构造的示例（例如，在给出3/8数量的情况下进行整体重建）。另一方面，由于具有可逆性（重复部分构成整体），Steffe and Olive（2010）声称，即使在解决问题之前，也能够理解这些类型的问题，比在分数的整个部分子构造中使用计数方案要先进得多。原因之一是，给定的数量不是学生需要用来证明其整体推理的1的单位。这种可逆性（重构整体）要求学生使用拆分操作将给定的适当分数（例如，未知单位1的3/8）划分为三个相等的部分（Hackenberg，2010年）），导致未知数量的1/8的单位分数。然后，在迭代单元分数（例如，未知单位的1/8）以使单位为1的过程中使用该划分操作的结果，因此与通常理解的操作级别不同分数的部分整体子构造。Steffe和Olive（2010）以及Hackenberg（2013）要求提供必要的知识来解决当通过分数分式方案逆转给出3/8的量时制作整体的问题。

Steffe等人的工作表明，随着将单位分数用作可迭代单位的进步，以单位分数作为度量单位进行操作与度量子结构密切相关，但这更具解释性。无论表示形式如何，都可以使用此乘法视图。Hackenberg（2013）和Norton and Wilkins（2012）也一致认为，对于构造部分单位，部分和迭代分数方案（Hackenberg，2013中提到的最后三个分数方案），必须分别使用单位度量）。这一进步包括测量子结构，并帮助我们将单位分数定义为“运算符”，在这些运算符中可以将它们相乘使用。从这个意义上讲，测量子结构可能不仅与数字线表示相关联，而且可能也是学生使用圆形表示法进行活动的一种解释工具。根据文献综述，Charalambos和Pitta-Pantazi（2007）确实如此，这些都是有助于儿童理解分数作为量度的能力的因素（根据Charalambos和Pitta-Pantazi，它与数字线的表示紧密相关）：使用单位分数来衡量与零参考点的距离，在数字线上找到一个数字，然后在数字线上指定一个指示点的符号名称，在数字线上划分单位（除半等分），并在两个数字之间定位一个数字任何两个数字（拉蒙，1999年）。当给一个未命名的点指定符号名称，该数字位于0、2 / 6和1所在的数字线上时，可以用学生的求解过程来说明这种能力。橄榄的（2011）与一名学生的互动展示了该学生如何使用他的量度结构来解决该问题。学生使用2/6的一半（0到1/6之间的距离）作为度量单位来找出点5/6的符号名称。他声称这一点是5/6，因为它与“ 1”或6/6相距1/6（Olive，2011年）。在Olive与学生的互动以及使用动态数字线作为工具的过程中，他观察到学生在1（或6/6）的单位内操作了两个嵌入式级别的单位1 / 6、2 / 6；因此，他构造了3级单元。我们通常不会通过部分整体解释和使用圆表示来观察这种构造。具有圆圈表示的平行情况也可以构造用于将来的研究。需要使用局部整体子结构的圆形表示形式的情况可能无法提供使用两个以上级别单元的操作机会。在这些问题情况下，出于比较的目的，可以将测量单位（分配给自然数“ 1”）视为理所当然，但单位分数也可以用在循环表示中。另外，由于1的单位和整体在部分整体子结构中被认为是相同的（意思是“整体内部分数方案”和“整体整体分数方案，请参阅Hackenberg（2013年），第571页），超出1的单位，即构造不正确的分数，可能并不自然。因此，与需要使用度量子结构的情况（通常在问题陈述中将单位分数用作乘法实体）的理解和操作要比要求使用部分整体结构的情况（通常是情况）更复杂。在问题陈述中标识形状的已分区和着色部分）。但是，我们需要用真实的数据来调查这种说法，看看是否是这种情况：用圆，矩形和数字线表示的测量子结构对学生来说比要求使用部分整体的情况更高级或更复杂用圆形，矩形和数字线表示的子构造。

度量子构造通常与数字线表示法的使用相关联（Charambolous和Pitta-Pantazi，2007年），但从皮亚吉亚人的观点出发，如果学生具有必要的操作和方案（部分单元，部分分数和迭代分数方案）那么，与什么材料的学生一起工作都没有关系，他们应该在给定的情况下成功地产生结果。诺顿和威尔金斯（2012）认为“部分整体方案与部分整体子构造保持一致；局部单位分数方案与测度子结构保持一致；并且迭代分数方案与operator子构造相符（第576页）。” 这种说法可能表明学生的活动可能不取决于问题情况下使用的图形表示。因此，本研究的目的之一是即使在数学问题陈述是平行的情况下（从成年人的角度以及从Steffe等人的框架中），也要研究所使用的表示形式在第4和第3代方法上是否有任何不同。五年级的学生了解问题陈述，以及他们如何使用分数方案解决这些问题。

(二)线性与非线性连续表示和分数知识

Piaget，Inhelder和Szeminska（1960年）与3岁儿童的工作有关线性（矩形，数字线）与非线性连续量（圆）以及它们与分数知识的关系的讨论，表明即使他们可以共享一个一年后，成功将丝带分成两半，成功共享一个圆形饼（分为两个）。除了这些信息外，Steffe（2010）还声称：

细分圆形蛋糕：[其中]三个洋娃娃。皮亚杰等。（1960）和Hunting and Sharpley（1991）同意，将圆形蛋糕细分不需要比将绳索细分为两部分更复杂的复合结构，即使前者比后者滞后约1年。但是，在使用二元注意模式进行碎裂与使用三元注意模式进行粘土圆板的系统细分之间似乎有很大的跳跃。根据伯爵（Piaget）等人的说法，年龄介于4到4frac12;岁之间。（1960年），孩子通常会成功地分成两个相等的部分，但不能分成三个相等的部分。将模型粘土的圆形平板分成三个部分显然需要开发产生初始数字序列的运算。（第61-62页）

皮亚杰等。与学龄前儿童一起使用了三种类型的活动：第一种是用缎带分享上下文，第二种是在线段上标记距离，第三种是分享圆形饼图。有趣的是，儿童的活动在纸上带有丝带和线段的任务是线性量，显示出与他们的计数方案所进行的心理操作平行。这些研究是针对学龄前儿童进行的，Hunting和Sharpley（1991年）重复了类似的活动。）。Steffe用他的重组理论认可了这些研究，并且由于数字序列和分数知识的构造与连续线性量的运算之间的相似性，他

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