英语原文共 6 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

分数阶薛定谔方程组的孤子解

李全清 吴鲜

云南大学数学与统计学院，云南 昆明 650091

云南师范大学数学学院，云南 昆明 650092

摘要 在本文中，我们研究了分数阶薛定谔方程的孤子解的存在类型

其中, 表示分数拉普拉斯算子的序

我们证明了通过使用约束最小化理论方程有一个解.

关键词 分数阶薛定谔方程；孤子解；最小化理论

1、介绍和准备

考虑如下的分数阶薛定谔方程

(1.1)

其中

(1.1)式的解与下列方程的孤波解的存在性相关

(1.2)

其中是一个实常数，和是实函数.这里我们关心的是的解的存在.(1.2)和.如果我们令(1.2)式中其中且是一个实函数，然后(1.2)式转化成(1.1)式.对于,见参考文献[1]，在适当的假设下，和得到了非平凡的非负整方程的解在里是存在的.

通过和的定理由一系列的修改，基于参考文献[2]，其中的系数应该是在并且满足，对于常数和几乎所有的，其中

.见[3],和证实了方程的非负弱解的存在性

通过集中列紧原理，其中是一个开放的有界集合，一个积分微分算子和核定义如下：

,

对于一切.尤其是,见[4],通过应用范畴论，S和研究了重要的分数阶薛定谔方程解的存在性和多重性

其中是一个连续函数满足.

值得注意的是例如近几年一直得到广泛的研究.然而，据我们所知 ,对于却没有任何的结果.在本文中,我们假设以下条件成立.

对于任何，分数阶空间通过下式定义

赋予自然常态

,

其中

是所谓的.让迅速衰减的施瓦兹空间函数，对于任意以及被定义为

(1.3)

其中.符号P.V.代表柯西主值并且是一个取决于和的量纲常数,精确地由给出.

事实上,分数阶的拉普拉斯算子可以被视为的一个运算符，正如以下所述，参考引理1.1，见[5].

令和是在(1.3)式中定义的分数阶拉普拉斯运算符.然后,对于

任意，

在这里，表示的傅里叶变换,然后我们可以看到一个通过傅里叶变换的分数阶空间的替换定义如下：

.

由命题3.4和3.6见[5]表明

.

所以，

.

对于一切.设

.

通过一个类似的计算,我们有

.

因此，

对于所有 .显然，我们可以由下式在上定义与(1.1)式能量泛函

其中.在这里.而且

对于一切, .所以对于所有的是(1.1)式的一个弱解.

显然是为研究(1.1)式的工作空间.然而，不是一个线性空间.因此，经典的临界点理论和通常的最小最大原理不能直接应用于能量泛函上，因此我们由于缺乏合适的工作空间造成了一定的困难.受[6]的启发，我们使用约束最小化理论给出的一个解.(1.1).

我们的主要结果如下：

定理1.1：令.假设.其次存在使得. (1.1)和有一个解.

设
与规范

对于任意，我们定义

其中

并且

2、定理1.1的证明
证明.我们将证明分为两个步骤.

步骤1：我们认为对于每一个，在上成立，这是一个的一个弱解.和满足

事实上，我们固定，把作为的一个最小化序列.我们可以假设对于所有的.然后通过[7]中的引理3.4的证明，我们知道嵌入对于是紧凑的.因此，通过一个子序列，对于和，和几乎所有的，我们可以得到在，在.请注意

.

通过引理我们有

因此，

所以由弱半连续性的规范有

.

因为，，所以有，故即.因此在上显然,我们可以得出结论是下式的一个弱解

(2.1)

乘以.(2.1)式中由和积分我们有

因此，即.

步骤2：我们证明当.

事实上，假设结论为假，那么存在使得.设因为当时有

由于-1，故存在一个常数使得.因此，

所以，

因为，故意味着是一个矛盾.通过步骤1和步骤2我们完成了定理1.1的证明.

参考文献
[1]G. Autuori, P. Pucci, Elliptic problems involving the fractional Laplacian in RN , J. Differential Equations 255 (2013)2340–2362.
[2]G. Autuori, P. Pucci, Existence of entire solutions for a class of quasilinear elliptic equations, NoDEA Nonlinear DifferentialEquations Appl. 20 (2013) 977–1009.
[3]A. Fiscella, E. Valdinoci, A critical Kirchhoff type problem involving a nonlocal operator, Nonlinear Anal. 94 (2014) 156–170.
[4]X. Shang, J. Zhang, Ground states for fractional Schruml;odinger equations with critical growth, Nonlinearity 27 (2014) 187–207.
[5]E. Di Nezza, G. Palatucci, E. Valdinoci, Hitchhikerrsquo;s guide to the fractional Sobolev spaces, Bull. Sci. Math. 136 (2012)521–573.
[6]J. Liu, Z.Q. Wang, Soliton solutions for quasilinear Schruml;odinger equations: I, Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003) 441–448.
[7]W.M. Zou, M. Schechter, Critical Point Theory and its Applications, Springer, New York, 2006.

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[31640]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word