矩阵方程组的解外文翻译资料
2022-12-07 04:12
英语原文共 5 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
矩阵方程组的解
摘要
一个正方形的复数矩阵叫做极压，如果他可以以书面的的形式,是固定的单向性和为任意矩阵。我们给出复杂的矩阵方程,,的系统解的存在性条件，此外，当提出的解决系统解的条件得到满足时，这种代表性的解决方案也被系统认定为最佳平方逼近的解决方案。
关键词；极压矩阵，矩阵方程，彭罗斯-穆尔逆，逼近问题；最小二乘解
1引言
设是阶实矩阵空间以下,,,,如果,记的复矩阵A为（或范围）极压矩阵是由施伟特福格在中所介绍的，很多研究了矩阵的性质在复数域的非退化，赋予不同的等价
条件，和许多特征矩阵来赋予它新的定义。（详见。)
矩阵方程 (1)
与矩阵X的自反性和对称性相比，艾尔米特广义矩阵和汉密尔顿型矩阵是一个非常活跃的研究课题。（见）。作为一个总的控制（1），给出了经典的矩阵方程在给定的条件下极压矩阵解法
, (2)
以引起人们的广泛关注并取得了许多对矩阵（2）的各种约束条件，如，双对称，对称，正半定，反射和广义自反性等等。众所周知，极压矩阵是一类矩阵，包括特殊的-矩阵，例如对称的斜艾尔米特矩阵（即，),正常的矩阵（即)以及一个奇异矩阵，极压法解这种矩阵是非常意义的。
正如在（）中所显示的，一个矩阵是极压矩阵当且仅当它可以以书面的的形式写成，是固定的单向性和为任意矩阵。
正如我们所知，这是迄今为止最简单的极压表示方法。
出于我们研究的需要，我们查询了很多关于极压解的资料，同时也考虑到了最佳平方逼近问题。
,
在矩阵C中所给定的单位单位阵，在很多的矩阵求解中并不是所有都可以使用极压解法的，因此，我们需要进一步的研究。最小平方逼近解法，它可以描述如下，让来表示所有的极压矩阵的酋矩阵的固定组合。
.
设
可得
.
在2中，我们提出了充分必要条件，在第二段是极压解法的存在性，并给出解的表达式所要满足的条件，在第三节中，我们得到了一个最佳平方逼近解法，在第四节中，我们提供了最小二乘极压解法。
2极压解法
在这种情况下，分析了解的条件和功能，我们建立了极压解的一般表达式（2）。
例如 ,是固定的单向性和为任意矩阵
例 2.1 设,矩阵方程组,当且仅当
在这种情况下，该矩阵的一般解为
对于任意的
现在，我们考虑极压解法；
得 ,,
,,
当 ，，，运用极压解法当且仅当,,,我们有如下定理。
例 2.2 设，和,,
满足，。
利用极压解法可得当且仅当,
.在这种情况下的极压解是
3最佳平方逼近问题的解
当设定的所有解非空时，这是很容易验证的是一个闭集，最佳平方逼近问题有一个独特的解，我们首先验证以下定理；
定理 3.1 设，，，那么
可以表示为 ,当，，是任意矩阵时，
证明；它遵循穆尔逆广义逆和内积，
=
= .
那么，当且仅当
当 ，，它的一般解显然是.
定理 3.2 设，，，
= (7)
当，假设是非空的，那么最佳平方逼近问题是一个独特的解决方案。
, （8）
证明；当是非空的，它满足（7）和酋不变性；
=
=
= .
因此，存在当且仅当时，有
根据定理 3.1 我们得出
当存在任意的，，将代入（6）中，我们用（8）解决问题（3），
4最小二乘解法
在这一部分，我们给出了最小二乘的显式表达式，
定理 4.1 设，，，
这就存在一个特殊的解，
使得
解得 当
定理4.2 设
, ,
当假定奇异值分解的如下。
, （9）
当 ，有
，，，
另外，
对于任意的有
（10）
证明；由题得
假设
（11）
那么我们有
.
因此
是可以解决的，
当且仅当存在使得
（12）
。 （13）
它遵循从(12)到（13）
(14)
(15)
当 将（14）（15）代入（11）我们可以在中得到的元素形式是（10）。
定理 4.3.假设符号和条件和定理4.2 相同，那么
当且仅当
证明；定理4.2 意味着
,
当时，有（16）的结果。
5致谢
这项研究是河北省自然科学基金会（A2012403013），NAT乌拉尔科学基金（A2012205028)和河北省教育部资助的(Z2013110)。
参考文献
- H. Schwerdtfeger, “Introduction to Linear Algebra and the Theory of Matrices,” P. Noordhoff, Groningen, 1950.
- M. H. Pearl, “On normal and EPr matrices,” Michigan Mathematical Journal, Vol. 6, No. 1, 1959, pp. 1-5. http://dx.doi.org/10.1307/mmj/1028998132
- C. R. Rao and S. K. Mitra, “Generalized Inverse of Ma-trices and Its Applications,” Wiley, New York, 1971.
- O. M. Baksalary and G. Trenkler, “Characterizations of EP, normal, and Hermitian matrices,” Linear Multilinear Algebra, Vol. 56, 2008, pp. 299-304. http://dx.doi.org/10.1080/03081080600872616
- Y. Tian and H. X. Wang, “Characterizations of EP Ma-trices and Weighted-EP Matrices,” Linear Algebra Appli-cations, Vol. 434, No. 5, 2011, pp. 1295-1318. http://dx.doi.org/10.1016/j.laa.2010.11.014
[6] K.-W. E. Chu, “Singular Symmetric Solutions of Linear Matrix Equations by Matrix Decompositions,” Linear Al-gebra Applications, Vol. 119, 1989, pp. 35-50. http://dx.doi.org/10.1016/0024-3795(89)90067-0
- R. D. Hill, R. G. Bates and S. R. Waters, “On Centroher-mitian Matrices,” SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol. 11, No. 1, 1990, pp. 128-133. http://dx.doi.org/10.1137/0611009
- Z. Z. Zhang, X. Y. Hu and L. Zhang, “On the Hermitian-Generalized Hamiltonian Solutions of Linear Mattrix Equations,” SIAM Journal on Matrix Analysis and Appli-cations, Vol. 27, No. 1, 2005, pp. 294-303. http://dx.doi.org/10.1137/S0895479801396725
[9] A. Dajić and J. J. Koliha, “Equations ax c and xb d
in Rings and Rings with Involution with Applications to Hilbert Space Operators,” Linear Algebra Applications, Vol. 429, No. 7, 2008, pp. 1779-1809. http://dx.doi.org/10.1016/j.laa.2008.05.012
- C. G. Khatri and S. K. Mitra, “Hermitian and Nonnega-tive Definite Solutions of Linear Matrix Equations,”
SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Vol. 31, No. 4, 1976, pp. 579-585. http://dx.doi.org/10.1137/0131050
- F. J. H. Don, “On the Symmetric Solutions of a Linear Ma-trix Equation,” Linear Algebra Applications, Vol. 93, 1987, pp. 1-7. http://dx.doi.org/10.1016/S0024-3795(87)90308-9
-
H. X. Chang, Q. W. Wang and G. J. Song, “(R,S)-Con-jugate Solution to a Pair of Linear M
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[31624]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
