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柯西型中值定理的中间点和梯形求积公式

J.Pečarić和M.Rodić Lipanović

萨格勒布大学纺织技术学院, Prilaz baruna Filipovića 28a, 10000

萨格勒布，克罗地亚

邮箱: pecaric@hazu.hr, mrodic@ttf.hr

收稿日期: 2008年8月6日

接收日期: 2008年11月17日

经由W.S. Cheung

AMS数学主题分类(2000):26A24

摘要: 在[1]和[2]中给定了一些柯西型中值定理. 在这里介绍一些类似于[1]中给出的有趣的结果.

关键词: 柯西型中值定理; Hermite-Hadamard不等式.

1. 介绍

在文章[ 1 ]和[ 2 ]中, 已经给出了一些柯西型中值定理.

此外, 在[ 1 ]中给出以下结果.

定理A（[1], 定理7） 设是两个函数, 其中每一个函数都具有n阶连续导数cedil;. 如果

则存在, 使

注1.1 在前面的定理中设和, 我们不需要边界条件(1), 定理的式子(2)给出了经典的梯形法则

注1.2 另一方面, 通过在定理A中设, 存在我们有以下方程

假设, 应用拉格朗日中值定理, 我们得到以下方程

其中

类似于上述[ 1 ]中给出的结果, 我们可以给出更多的结果.

首先，将定理A应用于函数

我们得到如下推论,

推论1.3 设是两个函数，其中每一个函数都具有n阶连续导数, . 如果

则存在, 使

2、主要结论

类似的方法可以用于Hermite-Hadamard不等式. 我们有以下结果.

定理2.1 设是两个函数, 其中每一个函数都具有n阶连续导数，. 如果

则存在, 使

证明: 考虑函数

显然

当时,

因此,

即

因此, 由(8)得

类似与函数f, 关于函数g我们可以定义

现在我们考虑函数

则

因此我们有

现在,连续应用n次拉格朗日中值定理求导, 我们发现

现在, 直接得出定理中的式子(9)的结论.

将定理2.1应用于函数

我们得到如下推论

推论2.2 设是两个函数，其中每一个函数都具有n阶连续导数, . 如果

则存在, 使

注2.3 在定理2.1中设和, 我们不需要边界条件(8), 定理中的式子(9), 对得出了如下的方程

应用拉格朗日中值定理对(12)求一阶导数, 我们发现

由此，这表明如果f在是一个凸函数, 那么存在, 我们有下列不等式

所以

其中

如果f在是一个凹函数, 那么(14)中的不等式相反.

注2.4 在定理2.1中设, 存在我们得到如下方程

假设f和f(n)在[a, b]是非负的，应用拉格朗日中值定理，我们得到以下的判断

其中

使用类似的方法，我们得到以下结果。

定理2.5 设是两个函数, 其中每一个函数都具有n阶连续导数，. 如果

则存在, 使

证明: 考虑函数

显然

当时,

因此,

即

对所有的偶数, 方括号中的式子等于零. 因此 此外, 运用(18), 因此, 对于所有的奇数

类似与函数f, 关于函数g我们可以定义

现在我们考虑函数

则

因此我们有

现在, 连续应用n次拉格朗日中值定理求导, 我们发现

现在, 直接得出定理中的式子(19)的结论.

注2.6 在前面的定理中设和, 我们不需要条件(18), 定理的的式子(19)给出了如下方程

对, 应用拉格朗日中值定理对(12)求一阶导数, 存在我们有

因此我们得到

其中

参考文献

[1] J.E. Pečarić, I. Perić, H.M. Srivastava, A family of the Cauchy type mean-value theorems, J. Math. Anal. Appl. 306 (2005) 730-739.

[2] J.E. Pečarić, M. Rodić Lipanović, H.M. Srivastava, Some mean-value theorems of

the Cauchy type, Fract. Calc. Appl. Anal. 9 (2) (2006) 143-158.

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