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非自治周期解的某些存在性结果

具有的二阶微分系统

Daniel Paşca^a, Chun-Lei Tang^b

^aDepartment of Mathematics and Informatics, University of Oradea, University Street 1, 410087 Oradea, Romania

^bDepartment of Mathematics, Southwest University, Chongqing 400715, Peoplersquo;s Republic of China

关键词：周期解；含的微分系统；最小作用量原理；鞍点定理

摘要：利用最小作用原理和极小极大方法,我们得到非自治二阶微分系统的周期解的存在性定理

1、引言

（1）

当和满足下列假设（A）：

·对任意；

·在满足时，F是连续可微的；

·对所有的和，存在和

使得

在此我们假设存在和使得对所有的和有

（2）

主要结果如下定理

定理1.假设（2）和假设（A）成立.让和满足和，假设 （3）

由于.

然后问题（1）至少有一个通过最小化函数给出的解，其中

，

当

备注1.定理1可推广至Tang^[1]的定理1.事实上，它可从定理1得出，其中和.

定理2.若（2）和假设（a）成立.假设

，

由于，

那么问题（1）在W中至少有一个解.

备注2.定理2可推广至Tang^[1]的定理2.事实上，它可从定理2得出，其中和.

2、定理的证明

我们引入了一些函数空间.让称为一个正数且.我们使用|·|来表示在中的欧几里得范数.我们通过表示函数的Sobolev空间有弱导数，规范是指由

此外，我们使用被定义的空间W

满足.

显然，W是自反巴拿赫空间.

我们记得

和.

为了我们的目标，有必要回顾一些非常著名的结论（论述与详情见[2]）.

命题3.对任意可以写成有

，.

我们有Sobolev不等式

， 对任意

和Wirtinger不等式

， 对任意

在[3]的作者已经证明了下面的结果（见引理3.1）并推广了一个非常著名的结果，证明Jean Mawhin和Michel Willem（见定理[2]1.4）.

引理4.让对任意在中是可测量的，对几乎任意在中连续可微.如果存在和，如此对几乎任意，和每一个.所以，有

那么函数被定义为在是连续可微的，且

.

推论5.让被定义为

.

当满足条件(A).如果是一个相应的欧拉方程的解，那么是(1)的解决方案.

备注3.函数是在W上弱下半连续（w.l.s.c.）为两个弱连续的凸函数之和.

定理1的证明.它从（2）和Sobolev不等式可得

对于所有和一些正常数.因此，我们有

对于所有，这意味着因为从(3)可得由[2]中的定理1.1和推论5可得上述结论.

定理2的证明.首先证明满足（PS）条件.假设：是的一个(PS)序列，其中由于和是有界的.在某种程度上类似于定理1的证明，我们有

对于所有成立.所以，有

对于大的.从Wirtinger不等式有

对于所有和.所以，我们得到

对于大的.由此得出结论

或者

对于一些和一些大数.通过定理1我们有

对于所有的.它从的有界性出发，（5）和上述不等式有对于大和一些实数和.上述不等式和（4）表明是有界的.

所以从（5）可知是有界的.把（或者），序列（或者）有一个子序列趋近（或者），有

（或者）（或者） 弱于（或者）

强于

注意，

由于，从（7）知在是有界的.然后，我们有

对于一些正的常数，结合（7）意味着其中.

所以，有

其中

此外，从（7）我们得到

其中.

建立

然后一个得到

和其中.

由Houml;lder不等式，我们有

连同（8）的结果.因此， 强于由于一致凸性.同样，我们有强于.所以，满足（PS）条件.

让成为给出的W的子空间.

然后我们有.

由于在中.事实上，定理1证明了

对于所有的成立.由Wirtinger不等式，规范是的一个等价范数.从等价性和上述不等式出发得到（9）.

另一方面，有

由于从（4）中，在.定理2是由（9），（10）和鞍点定理证明的.

（详见[ 4 ]中的定理4.6）.

参考文献

[1] Chun-lei Tang, Periodic solutions for nonautonomous second order systems with sublinear nonlinearity, Proc. AMS 126 (11) (1998) 3263–3270.

[2] J. Mawhin, M. Willem, Critical Point Theory and Hamiltonian Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1989.

[3] Yu Tian, Weigao Ge, Periodic solutions of non-autonomous second-order systems with a , Nonlinear Anal. 66 (1) (2007) 192–203.

[4] P.H. Rabinowitz, Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations, in: CBMS Reg. Conf. Ser. in Math., vol. 65, AMS,Providence, RI, 198.

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