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摘 要

二次特征值问题在工程类学科中有重要意义，投影方法是解二次特征值问题的一类重要及有效方法。该方法利用正交投影变换，将原问题变为投影子空间中的问题。子空间的维数往往远低于原问题空间，这样的做法会大大减少运算量，在较短时间内得到所需的近似解。

投影方法主要包括Arnodi方法和Jacobi-Davidson方法。Arnodi方法是求特征值问题稳定而高效的方法，但如果需要的特征值并不需要分离或是位于集合内部时，就需要花费大量迭代步骤来得到期望的特征值，位移求逆可以较好的解决这个问题。本文接下来介绍了Jacobi-Davidson方法，并着重阐述了二次Jacobi-Davidson方法，并讨论了其收敛及实现性。

在运用Jacobi-Davidson方法求解特征值的过程中，由于搜索子空间的不断扩张，相应投影问题的维度会越来越大。但是，在子空间的维数扩大到某一数量的时候，一定可以得到符合精度的特征对。由于非对称矩阵的特征值与特征向量的不同步性，即矩阵特征值符合收敛精度已经收敛时，相应的特征向量还没有收敛。本文对二次Jacobi-Davidson方法提出精化，通过对修正方程的改进，以及与瑞利商的结合，精化了迭代过程中增加的那部分向量的精度，使得迭代过程中近似特征向量更加精确，也更为省时。

数值结果也明确表明，精化的二次Jacobi-Davidson方法优于传统的二次Jacobi-Davidson方法，经过精化调整后，能有效缩短处理时间并提高精度。

关键词：投影，搜索子空间，特征值，Arnodi方法，Jacobi-Davidson方法，瑞丽商， Ritz值

The projection method for the quadratic eigenvalue

ABSTRACT

Quadratic eigenvalue problem has important significance in the engineering disciplines, projection method is to solve quadratic eigenvalue problem of a class of important and effective method. The method uses orthogonal projection transformation, the original problem into a cast shadow in space. Subspace dimension is usually far smaller than the original problem space, such practices will greatly reduce the computational complexity, in a relatively short time to obtain the approximate solutions.

Projection methods mainly include Arnodi method and the method of Jacobi - Davidson. Arnodi method is stable and efficient method to solve eigenvalue problems, but if you need any characteristic value does not need to separate or in the collection, you need to spend a lot of iterative steps to get the desired eigenvalues, displacement inverse can solve the problem. The rest of this article introduces the method of Jacobi - Davidson, and focouses on quadration Jacobi - Davidson method, and discuss its convergence and realization.

In the process of using Jacobi - Davidson method to solve the eigenvalue, due to the constant expansion of the search subspace, the dimension of the corresponding projection problem will be more and more big. However, in the subspace dimension and expand to a certain amount of time, can get the characteristics of precision. Due to the asymmetric matrix eigenvalue and eigenvector of asynchronism, namely matrix eigenvalue conform to have convergence, convergence precision of the corresponding feature vector is not convergence. In this paper, the quadratic Jacobi - Davidson method put forward the elaboration, through the improvement of the equation of correction, and with the combination of Rayleigh quotient, the elaboration in the iterative process to improve the accuracy of the portion of the vector of the iteration approximation characteristic vector is more accurate, more save time.

The numerical results are also made clear that the refined quadratic Jacobi - Davidson method is superior to the traditional quadratic Jacobi – Davidson method, after adjusting for the elaboration can effectively shorten the processing time and improve accuracy.

Key words: projection, search subspace eigenvalue, Arnodi method, Jacobi – Davidson method, Rayleigh quotient, Ritz values

目录

摘 要 I

Abstract II

第一章 引言 1

1.1 研究目的及意义 1

1.2 研究相关背景 1

1.3 非线性特征值问题 2

1.4 投影方法的原理 3

1.5 记号和约定 4

第二章 主要的投影方法 5

2.1 Arnoldi方法 5

2.2 Jacobi-Davidson方法 7

2.2.1 Davidson方法 7

2.2.2 Jacobi-Davidson方法 8

第三章 二次Jacobi-davidson方法 11

3.1 二次Jacobi-Davidson方法 11

3.2 精化的二次Jacobi-Davidson方法 13

第四章 数值实验及结论 16

参考文献 19

致谢 20

第一章 引言

1.1 研究目的及意义

对于二次特征值的问题，由于它在结构力学、流体力学、声学、电路模拟、信号处理等实际应用中占有越来越重要的地位，越来越受到人们的重视。在工业机械、仪表分析等航空航天、建筑、船舶等领域对结构进行动力分析往往最终转化为矩阵特征值问题。这就为矩阵特征值问题的理论方法的研究提供了重要的理论意义和应用价值。

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