整环上的多项式环理论开题报告

2021-12-12 06:12

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

整环作为抽象代数中最基本的概念之一，在数学和自然科学其他分支中都有着广泛的应用。

前人已经有了许多关于整环的研究和探讨，在整环的整除方面有了一系列定理和结果，但是在多项式扩展方面没有进行完整的梳理和研究；所以我依据高等代数中数域p上的多项式理论，讨论在整环上的多项式环理论，以期望能找到高等代数和近世代数之间更深层联系；确立整环上的多项式理论能够帮助我们更深的去探讨多项式在环中的

地位和作用。

国内外研究现状

聂灵沼，丁石孙提出了整环都满足带余除法；唯一分解整环可以进行因式分解，多项式扩张后依然是唯一分解整环，满足高斯引理和艾森斯坦判别法；提出了主理想整环和欧几里德整环，但并未将其进行多项式扩张。

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2. 研究的基本内容

第1部分，参照数域，定义了整环上多项式及性质、唯一分解整环、主理想整环、欧几里德整环等本文会使用的一些重要概念。

第2部分，给出整环上多项式满足带余除法的定理及其证明，同时介绍根的性质。

第3部分，首先给出反例表明整环上多项式不能全部满足唯一因式分解，其次引入唯一分解整环，得到多项式性质。

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3. 实施方案、进度安排及预期效果

2016.1.3到2016.1.31：开始查阅与论文有关的资料；

2.1到2.15：初步确定论文的研究思路；

2.16到2.28：确定论文的研究内容和研究进度；

3.1到3.15：张孝金老师对不懂的部分进行讲解和梳理，讨论论文的研究内容和思路；

3.16到3.31：论文的撰写；

4.1到4.15：论文的翻译与中期检查；

4.16到4.30：论文的进一步优化，完成初稿；

5.1到5.15：论文的进一步完善，定稿；

5.16到5.30：准备论文答辩。

4. 参考文献

[1] 聂灵沼，丁石孙.代数学引论第二版[m].北京：高等教育出版社，2000.9.

[2] 刘绍学. 近世代数基础[m]. 北京：高等教育出版社，1999.10.

[3] 王萼芳，石生明.高等代数第三版[m].北京：高等教育出版社，2003.7.

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