摘 要

图像是我们每个人了解世界的关键方式。在图像采集、传输、存储的整个过程中，它们会经常受到各种噪声的干扰从而让图像的质量下降。然而图像预处理算法的优劣对后续图像处理效果有直接影响，所以就要求我们从噪声图像中恢复无噪声的原始图像，同时不破坏原本图像中的纹理和边缘等细节信息，从而获得高质量的数字图像。因此，对图像进行去噪处理是十分必要的。

本文主要研究了图像去噪问题。图像去噪问题本质上是变分泛函极小化问题，可最终转化为偏微分方程的数值求解问题。由于一般的数值求解算法收敛速度比较慢，本文希望通过多重网格方法来加速数值求解算法，提高图像去噪速度，更好地服务于医学诊断。主要的研究工作和创新点如下：

（1）首先，本文研究验证了多重网格理论；通过实验证明多重网格方法适用于求解，并且在求解数值解时，相比于经典的迭代法，有更高的迭代收敛速度。其次，本文研究了多重网格算法在图像去噪上的应用；给出变分图像去噪模型的数学描述，运用泛函分析和变分原理将图像去噪问题转化为求偏微分方程数值解问题，然后运用多重网格算法进行方程求解，实现快速去噪。

（2）本文的创新点为设计了一种快速、准确的图像去噪算法。通过四个数值实验证明，多重网格算法去噪速度极快，去噪效果明显，用时均在0.6秒—0.9秒之间。且将多重网格算法与算法、算法在去噪时间上进行对比，用还原图像的信噪比和峰值信噪比这两个量化指标客观直接的反映去噪效果，进一步验证了在图像相同、去噪效果相似的情况下，多重网格算法去噪时间明显更短。

关键词：图像去噪；多重网格方法；变分模型；偏微分方程数值解

Abstract

Images are a key way for us to know the world. In the entire process of image acquisition, transmission, and storage, the image is often degraded by the interference and influence of various noises. However, the quality of the image pre-processing algorithm has a direct impact on the subsequent image processing effect, so it is required that we restore the noise-free original image from the noisy image without destroying the details such as edges and textures in the image. Therefore, in order to obtain high-quality digital images, it is necessary to denoise the images.

This paper mainly studies the image denoising. The problem of image denoising is essentially the problem of variational functional minimization, which can be finally converted into the numerical solution of the PDE. Because the general algorithm convergence speed is relatively slow. This paper hopes to accelerate the PDE numerical solution algorithm through the multi-grid method, increases the speed of image denoising. The main research work are as follows:

(1) Firstly, this paper validates the multi-grid theory. Experiments prove that the multi-grid method is suitable for PDE solution, and when solving the PDE numerical solution, the multi-grid method has a higher iteration convergence rate than the classic Jacobi iterative method. Secondly, this paper studies the application of multi-grid algorithm in image denoising. It provides a mathematical introduction of the variational image denoising model, and uses functional analysis and variational principles to transform the image denoising problem into numerical solutions for partial differential equations. And then this paper uses the multigrid algorithm to solve the equation to achieve fast denoising.

(2) The innovation of this paper is to design a fast and accurate image denoising algorithm. Through four numerical experiments, it is proved that the multi-grid algorithm has obvious denoising effect, the speed is fast and the time is between 0.6 seconds and 0.9 seconds. Furthermore, the multi-grid algorithm is compared with the Li algorithm and the split TV algorithm in the denoising time. The denoising results are objectively and directly reflected by the two quantitative indicators: the signal-to-noise ratio and the peak signal-to-noise ratio. It is further verified that under the same image and similar denoising effect, the multi-grid method has a significantly shorter denoising time.

Key Words：image denoising; multi-grid algorithm; variational model; numerical solutions of partial differential equations

目 录

第1章 绪论 1

1.1 论文的研究背景与意义 1

1.2 国内外研究现状 2

1.2.1 变分图像去噪模型的研究现状 2

1.2.2 多重网格方法的研究现状 3

1.3 主要研究内容与结构 4

第2章 基本知识与概念 5

2.1 偏微分方程的基本概念 5

2.2 有限差分方法 5

2.3 变分原理 6

2.4 本章小结 7

第3章 基于多重网格法求解线性偏微分方程 8

3.1 经典迭代法 8

3.1.1 迭代法的一般形式 8

3.1.2 迭代法的矩阵形式 8

3.2 多重网格法 9

3.2.1 二重网格方法 9

3.2.2 多重网格方法 10

3.3 算法求解 12

3.4 结果分析 13

3.5 本章小结 14

第4章 基于多重网格法求解图像去噪模型 15

4.1 变分图像去噪模型 15

4.2 多重网格算法 16

4.3 算法求解 18

4.4 数值实验 18

4.5 本章小结 21

第5章 总结与展望 23

5.1 总结 23

5.2 展望 23

参考文献 25

致谢 27

第1章 绪论

1.1 论文的研究背景与意义

图像是我们每个人了解世界的关键方式。图形、相片、电影、视频等各种类型的二维、三维数据都可以称之为图像。通常情况下，人们将图像处理^[1]认为是与图像相关的各种技术方面的总称；然而于数学专业而言，图像处理则被认为是与数字图像有关的技术。

现如今，数字化智能广泛普及，图像信息的传输方法不再是简单的实物传输，而是转变成了当下的数字图像传输。众所周知，外界原因复杂多变，且干扰性巨大，很容易导致图像质量下降，真实性被极大削弱。对于这个问题，数字图像处理技术应运而生。在电子产品和计算机技术迅猛提高和普及的时代下，信息技术和多媒体技术呈现着快速发展的趋势，图像处理问题也随之受到了人们更多的重视和关注，图像处理技术越来越多的适用于医疗诊断、计算机视觉与仿真、天文观测和遥感技术等领域，已带给人类巨大的经济和社会效益。