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双轴载荷和板长对中心裂纹板极限载荷的影响

摘要

适应性评价准则需要处理多轴应力对极限载荷的影响，本文探索大范围的双轴载荷和板长对中心裂纹板在平面应变情况下的影响。采用了三种解决方案：极限分析的上限理论、极限分析的下限理论和有限元分析。对于长板广泛变化的双轴应力比，包括所有的负双轴应力比，使用界限方法所得的结果是准确的。在高的正双轴应力比下，上限值和下限值也能够近似重合，当作用载荷接近等双轴载荷时，极限载荷显著地被此时的双轴载荷所提高。

关键字：极限载荷；双轴载荷；中心裂纹板；

1引言

针对于双轴载荷对于断裂的影响，已经有很多文献都做有大量的数值计算和实验研究。比如，Oslash;stby和Hellesvik[1]进行大规模X65管道周向缺陷的四点弯曲的压力载荷测试，他们发现撕裂阻力不受双轴性的影响,但对于一个给定的应用应变，裂纹驱动力通过由压力引起双轴载荷而增加。Orsquo;Dowd et al[2]通过对中心裂纹板的有限元计算，得到弹塑性裂纹驱动力J和弹塑性裂纹尖端约束参数Q的有限元结果,并把结果针对于近似极限载荷进行了归一化处理，Lei et al提出了双轴载荷作用下的边缘裂纹板极限载荷解决方法[3]，并证明考虑到双轴载荷，J积分方法能够被极限载荷归一化[4]，Wang [5] 与Miura an和Takahashi [6]提出了对于表面裂纹板的J积分解决方法，后来还有人证明了其能够被极限载荷归一化。最近，Ding和wang[7]已经评估了双轴加载板的J和Q，而且也显示了如何使用标准的方案来评价约束，各种数值和实验结果表明双轴加载对断裂阻力,裂纹驱动力和负荷能力都有影响。然而,即使双轴加载对断裂阻力的影响显现的相当保守和对裂纹驱动力具有更大的影响，但是这些因素不总是能明确区分的。在适应性评价标准中如R6[8],BS7910[9]和API 579[10]，测定裂纹驱动力的关键是极限载荷。

因此本文呈现了在二维平面应变下，中心裂纹板的双轴加载对极限载荷影响的系统研究，相比于以前的研究，覆盖了大范围的双轴载荷因子，包括负应力比，也处理了板长对极限载荷的影响。第2部分呈现几何和载荷以及有限元模型的简要描述。第3部分使用上限极限分析和下限极限分析以及有限元分析来提供广泛的极限载荷解决方案。最后，第4部分呈现一个讨论以及当极限载荷被用来评估裂纹驱动力时的一些初步J积分的结果。

系统命名

a 裂纹半长

B 双轴应力比

E 杨氏模量

H 板的半高

J弹塑性裂纹驱动力

弹性应力强度因子

Q弹塑性裂纹尖端约束参数

T弹性裂纹尖端约束参数

沿着滑移线的速度

W 板的半宽

x、y坐标原点在板的中心的笛卡尔坐标系

长板滑移线与水平轴的夹角

泊松比

短板滑移线与水平轴的夹角

平行于裂纹平面的应力

垂直于裂纹平面的应力

在极限载荷下的

屈服应力

剪应力

下标和上标：

Cr 角

(F) 前滑移线

(L),L极限载荷值

lb 下限

ub 上限

(R) 反滑移线

2几何模型和加载

使用二维中心裂纹板几何模型，载荷施加如图1所示，应力比可以表示为：

（1）

其中B=0对应单轴拉伸，B=1对应于两相等的作用载荷。板长2H，板宽2W都独立变化，但板的整体尺寸可用比例H/W描述，同样地，对各种不同的裂纹长度2a也可以用a/W来表示。

使用ABAQUS进行有限元分析，利用几何和载荷的对称性采用四分之一板，平面应变模型，材料使用理想弹塑性材料，杨氏模量是E=200000MPa,泊松比=0.3，利用方形和集中网格单元来划分模型，如图2。对于位于裂尖中心的半圆，使用ABAQUSCPE-3节点线性平面应变单元进行网格划分。对于半径=0.6a的外半圆，周围的方形网格用CPE-4节点双线性平面应变四边形单元划分。显然，网格由5820个单元组成。

初始线弹性分析的进行是为了保证网格的精致，分析重现了在板长大于等于板宽的2倍的情况下，即H/W2，从R6[8]得到应力强度因子K1手册。对于短板，K1与H/W的关系不大，与B独立，如图3所示，这再次与文献的解一致。本文在后续的部分中介绍了长板和短板的有限元结果，长板的H/W=2,对于这种情形H/W的影响不大，短板用文中所给的H/W值来描述。在第3板块，极限载荷的理论解适用于各种H/W值，包括长板和短板情形。

呈现在平面应变双轴载荷作用下的弹性分析和T应力的评估。对于H/W=1，单轴载荷作用的情况，在R6中的手册解决方法再次产生。双轴载荷作用下的有限元结果与应用应力平行裂纹的单轴解不同。R6[8]也包含基于B=1的双轴极限载荷作用下，被参考应力标准化的等双轴载荷的T应力结果。在下面第3部分中，对于大范围的双轴应力比，采用极限载荷解决方案,单轴T应力可以被用来形成标准化的T应力方法。然而，由于结果主要是为了增加了有限元结果准确度的说服力，详细细节在这里就被省略了。

图1中心裂纹板和双轴加载 图3对各范围标定的板长，应力强度因子的解答

图2 有限单元网格划分图形

3极限载荷解决方法

根据mises屈服准则，介绍了评估平面应变极限载荷的三中解决办法。第一，在3.1部分，从满足平衡方程和屈服条件的应力重分布中得出下限解。第二，在3.2部分，从用滑移线描述的变形模型和等效的内外做功中得出上限解。最后，在3.3部分给出了理想弹塑性的有限元结果并与上面的两种方法所得到的结果做了比较。在这三种方法中，在H/W的影响可忽略的情况下（有限元分析采用H/W=2)，可得到长板的解。对于短板，从上限法和下限法可以看出H/W对短板具有显著的影响。

3.1下限极限载荷法

3.1.1长板

假设水平应力,在裂纹面上垂直应力为零，在裂纹前的韧带上为,那么可得到图1所示的裂纹板下限平面应变mises极限载荷。如果板是充分的长，使得按上面所假设重的新分布垂直应力等于远场分布的均布载荷，那么这些应力就能够平衡应用载荷，因此就满足平衡方程。假设垂直于裂纹的应力是拉应力（）而平行于裂纹的应力可以是拉（Bgt;0)或者压应力（Blt;0)。那么，忽略代数细节，应用平面应变下的mises屈服准则可以得到下限极限载荷

（2）

这里的是屈服应力，下标L表示极限载荷值，上标lb表示下限法。

3.1.2短板

在3.1.1部分，假设应力场重新分布为满足板的上下表面的边界条件的均布垂直应力，但这只适用于长板，对短板是无效的。对于短板，通过假设随横坐标x线性变化的剪应力来平衡随纵坐标y线性变化的垂直应力而得到相应的下限解。假设在裂纹区域，横坐标从板的垂直中心线到x=a处变化，剪应力从零升到，而在这个区域内，对应于y=0，垂直应力降低为零，在没有裂纹的韧带区域，随着x=a变化到x=W，剪应力从降低到零，而在y=0处的这片区域内，垂直应力为。这里的（x，y）是原点在板的中心的笛卡尔坐标系下的坐标。剪应力在y=0和y=H处必须为零，因此假设的剪应力是一个满足平衡方程的平均值。实际上，在y=0和y=H处存在一个剪应力随y变化的区域，这处的剪应力与水平应力平衡。然而，从后面所得到的有限元结果可以看出这里所假定的近似应力场是足以提供一个合理的下界解，因此在这里没有进行进一步的细化处理 。

鉴于上面的假设，在裂纹上和韧带上满足mises屈服准则，由于剪应力的存在，所得到的下限解相对于3.1.1部分有所减小。由于剪应力在x=a处的平面具有最大值，而这个面是裂纹和韧带的交界面，所以运用mises屈服准则可得到

（3）

显然，对于长板,当a/H 0，方程（3)便简化为方程（2）。在其他极端情况下，对于非常短的板即H/alt;lt;1，其对应的解为：

（4）

3.2上限极限载荷法

3.2.1长板

为了得到上限解，必须假设一个变形模型。在后面3.3部分，弹性完全塑性有限元分析显示了两个完全不同的变形模型来作为详细的讨论。如图4所示，浅色区域代表用于有限元分析的1/4板模型，深色部分代表着大应变区域，第一个变形模型是由如图4（a）实线所表示的经过裂纹前面韧带的直滑移线，虚线表示对称滑移线。第二种变形模型也是直线，但是是经过裂纹后部的滑移线，如图4（b）所示，在有限元分析所观察的变形与这经过两个裂纹尖端的滑移线部分所对应。同样的形状也被Orsquo;Dowd et al. [2].所获得，在这个子版块，假设板是充分的长，滑移线只相交于板的两边，如图4，这个假设就使得解被下面所给的H/W和a/W的范围所限制。

如果图4（a）的滑移线与水平线相较于，然后假设滑移线与裂纹前的垂直面相交，但不相交于板的上下表面（即假设（W-a)tanlt;lt;H),则最小的上限解是当=pi;/4时

， （5）

这里上标ub代表上限解，由于在3.2.2部分已详细列出了对短板的上限解的推导方法，所以略去了这里的推导过程。

如果图4（b）的滑移线也假设与水平轴成角，假设滑移线相较于裂纹后的垂直面不相交于板的上下表面（即假设（W a)tanlt;lt;H)

最小上限解也在=pi;/4处得到，即：

， （6）

图4、长板极限荷载的假设变形模式（H/W=2、a/W=0.6)

(a)在裂纹前 （b)在裂纹后

对于情况，方程（5）和方程（6）的较低解是合理的上限解。上述所得的解是针对于强烈的限制条件是方程（6）中的的长板，因此，例如在的条件下，对所有的a/W都成立。对于短板，滑移线与板的顶面和底面所相交，所以需要修改方程（5）（6），将方程（5）（6）变成a/W和H/W的函数，下面将对此进行讨论。

3.2.2短板

再次地被有限元的结果所指导,假设两种变形模式，如图5。和图4一样，浅色区域代表用于有限元分析的1/4板模型，深色部分代表着大应变区域，实线是假设的滑移线，虚线是对称滑移线，直的滑移线经过裂纹前和裂纹后，但是因为板太短，所以违背了方程（5）（6）的限制条件，因为滑移线与板的上下表面相交。

首先考虑滑移线以一个与水平轴成 的角从每个裂纹尖端前进并相交于板的顶面和底面，如图5（a）。注意，对于更大的角，则针对于下面的方向滑移线。因此应满足：

(7)

这里的是在滑移线与板的角相交时的值，上标cr和F分别表示角和向前。假设沿着滑移线有一个速度，由沿着滑移线能量耗散等于外部做功可以得到： （8）

化简为：

(9)

当B=1时，分母为最大值，因此在时极限载荷最小，所以对极限载荷给出了上限解：

, B=1 (10)

对于，从方程（9）总是可以得到这个解，这是对于任意B值的上限解，它等于在非常短的短板情况下方程（4）的下限解，这个解与B值无关。然而，对于不是非常短的板和B值不等于1的情况下，通过确定使方程（9）分母最大的值，来得到一个改进的上限极限载荷。分母是最大或者最小应满足：

图5短板极限荷载的假设变形模式：（a）在裂纹前；（b）在裂纹后

即： 或者：

, Blt;1 （11）

这里的被定为。当分母相对于的二阶导数为负值时，分母达到最大。对于Blt;1，二阶导数在为负值，所以所得的解为分母达到最大值的解，所以可以得到相关的解答。对于Bgt;1，不是分母为最大值的解，因此方程（11）第二项没有意义，对于这种情况，最小上限解出现在处，所以接下来考虑相反滑移线的解。

考虑滑移线以一个与水平轴成角从每个裂纹尖端的后方前进，并相交于板的顶面和底面，如图5（b)。因此角满足：

（12）

这里的是在滑移线与板角相交时的角度，上标cr和R分别表示角和倒退，假设沿着滑移线有一个速度，再次利用内外做功相等并化简为：

（13）

方法与方程（9）相似，都是沿着滑移线推导而出的。至于前进滑移线的解，对于B=1的情况，分母在

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