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椭球高度向局部水准高程的转换

By M. Yanalak1 and O. Bayka

摘要：本研究的目的是评价插值方法的应用，一种用于数字地形建模在全球定位系统(GPS)椭球高度向局部高程的转换。为了测试本研究中使用的插值方法，使用了在距伊斯坦布尔300公里的土耳其北部收集的一组GPS数据。利用11个不同的插值过程，将数据转换为一个局部高程系统，分为四类插值过程。该数据集包括109个点，它们的高度在GPS和本地高度系统中都是已知的。其中18个被选为参照点。通过在18个参考点上的差异，重新计算了在其余91个点上的局部和GPS高度之间的差异。对91个点的内插(或外推)差与已知差进行了比较。

简介

在过去的十年中，全球定位系统（GPS）已被广泛应用于工程领域的许多应用中。第一批倡议更多地集中在大地测量和地球动力学应用上。然而，全球定位系统正被广泛应用于许多领域，如陆地测量、地籍测量、工程测量、海洋测量、车辆监测、飞机自动着陆、测量等。 (Fiedler 1992；Asteriadis和Schwan 1998；fan 1998；Liu 1998；Liu和Che 1998；Abbot和Powell 1999；Antonelis等人)。1999年；Moore和Rob 专家审评组1999；Smith and Small 1999)。

GPS测高一直是精密定位应用中的一个问题。如果要将垂直结果与海拔进行比较，则必须将GPS所导出的高度转换为一个局部系统。这种转变可以通过不同的方式来实现。首先，需要一个足够多的公共点来执行转换。这个数字取决于将要进行的工作。如果需要分厘米级精度，则需要大量的公共点。另一个标准是当地高程系统的精度。缺乏大量共同点是实践中的一个问题。在这种情况下，必须增加当地水准网中的点数，这会造成额外的实地调查、时间消耗和成本。本研究试图探讨插值方法是否可以作为解决这一问题的另一种方法。

高程变换问题的插值方法

插值是利用已知的函数依赖值在任意插值点估计未知函数依赖值在插值点周围分布的基准点。在本研究中，未知的函数依赖值是椭球和局部高度的差异，表示为N0。任意插值点处未知的N0值由 利用椭球面和参考点局部高度之间的差异来进行极化的方法。

所有点的Gauss-Kruger投影坐标都是已知的。使用(X0，Y0)坐标来描绘插值点。参考点的坐标是(xi，yi)。

如果假设Ni(圆柱形线)的方向是平行的，假设Ni的值是Zi，则可以定义一个三维直角坐标系统。在这种情况下，插值过程变成一个曲面拟合问题(Yanalak，1997年)。点间的估计值等于该点的表面高度（n0= Z0）。解决曲面拟合问题的插值方法很多。在本研究中使用的方法将在下面的章节中进行研究。

加权平均插值法

在该方法中，插值点的高度是由其周围参考点的高度的加权算术平均值计算的。参考点的权重是与插值点的水平距离的函数。插值点的高度由以下公式计算：

（1）

其中，

（2）

或者，

（3）

它是Guler(1978，1985)定义的权函数。本研究使用的权重函数如下：

第一种模式：

第二种模式：

第三种模式：

第四种模式：

只使用插值点周围的参考点是首选的，而不是使用研究领域的所有参考点。在这种情况下，选择参考点会引发另一个问题。在插补点处使用圆点中的参考点，实际解决了这一问题。根据分布计算圆的直径以及参照点的密度。在本研究中，为了唯一地解决这个问题(Lawson 1977)，执行了一种额外的方法，该方法只使用内部点的Delaunay邻域的参考点(Lawson，1977)。 西布森1977年；麦卡拉赫和罗斯1980年；Mirante和Wein-Garten 1982年；Watson和Philip 1984 a，b；Macedonio和Pareschi 1991；Lar-kin 1991；Tsai 1993；Renka 1997)。利用Delaunay三角剖分法对一个插值点和18个参考点进行三角剖分，下文对此进行了说明。

多项式插值

该方法的目的是用多项式函数表示曲面。具有次多项式n阶的曲面的表达式是

（4）

其中aij=多项式的常数；n=多项式的度数；i，j=正整数值(Petrie和Kennie 1987)。多项式阶数的增加需要更多的参考点。当n=2，(4)变成

（5）

要确定第二次多项式，至少需要六个参考点。多项式系数可以用已知的(x，y，z)坐标来计算。然后，曲面与参考点完全吻合。当参考点的数目超过6个时，必须进行调整。通过最小二乘估计来计算多项式的系数。参照点并不完全位于调整后的表面上。

第二次多项式的误差方程为

（6）

误差方程的一般表达式表示为

（7）

其中m=参考点的个数。调整后的表面的系数使用以下条件计算：

（8）

多目标插值

Hardy(1971)改进的方法的目的是用单一函数表示曲面。首先，确定趋势面。趋势面可以采用多元或调和级数或三角函数作为趋势面。经验表明，一次或二次多项式满足要求(Leberl，1973).本研究采用了一次多项式.

利用前一种插值方法给出的方程，计算了z(xj，yj)多项式趋势面的系数。在参考点处的AZJ再测量由

（9）

多二次方程可以表示为级数，

（10）

其中ZJ=由单类二次曲面之和(Hardy 1971)的x和y的函数。每个二次项的垂直对称轴位于一个离散的水平位置。关联系数CJ决定了二次项的代数符号和平坦性。用ZJ残差计算未知CJ常数。Hardy(1971)中提到的一些表面如下：

两张圆双曲面(k为常数)中的一系列圆形双曲面的求和

（11）

圆形抛物面的求和

（12）

右锥求和

（13）

为了确定每个参考点的Cj常数，使用已知的(xj，yj，azj)值。如果假定右锥的求和被选择为多二次曲面，则

（14）

对于i和j的两个参考点，则(13)变为

（15）

用(15)的明确表达式，可以显示下列方程组：

（16）

用矩阵方程计算未知的cj常数

（17）

A矩阵是对称的，其中对角线元素由于(14)而为0(0)。已知(X0，Y0)的插值点的插值Z0是

（18）

Hardy(1971，1972，1975，1990)提出了多二次法的基本参考文献。

三角网内插

该方法将参考点作为覆盖插值区域的非重叠三角形网的顶点。各种算法可用于三角剖分。最常见的是最优、贪婪和Delaunay三角剖分。最佳三角剖分被定义为边缘长度的最小和。最佳标准的另一种方法是在每个回合中采用最短边缘。 Delaunay三角剖分根据没有参考点位于任何三角形的外接圆内的标准来分配数据集中的三角形。 Delaunay三角形定义了最近的自然邻居，因为顶点上的参考点比任何参考点更接近它们的相互外心。很显然，Delaunay三角测量是三角测量的独特解决方案，因为它不依赖于起点。但是，其他方法取决于三角测量的起点。为每个起点选择一个新的三角网。德劳内三角形的一个重要特征是获得了最佳的等边三角形（Lawson 1977; Sibson 1977; McCullagh and Ross 1980; Mirante and Weingarten 1982; Wat son and Philip 1984a，b; Larkin 1991; Macedonio and Pareschi 1991; Tsai 1993年）。三角形上最常用的插值方法是线性插值。一个平面在直角坐标系中定义为

（19）

常数a00，a10和a01使用三角形的三个角点计算。 根据（19）使用（x0，y0）代替（x，y）计算插值点的z0值。

个案研究

研究区域

在这项研究中，使用了距离伊斯坦布尔300公里的Zonguldak的GPS测量。 最大高度差达到500米的应用区域为长约18公里，宽约3公里的海岸线。 如图1所示，该网络由109个具有25米等高线间隔的点组成。这些点中有18个是参考点，74个点是内插的，17个点是外插点。

应用插值方法

使用四种不同的插值方法执行十一个不同的高度转换。 插值方法如下：

bull;具有加权平均值的插值：应用了使用加权平均值的五个插值。 对于所有的参考点，四个权重函数而德劳内邻居只使用一个权重函数（pi = 1 / s 2）。

bull;使用多项式进行插值：应用了使用多项式的四次插值。使用第一阶（三和四阶）和第二阶（六和九阶）多项式。

图1 研究区域和数据

多段插补：已应用一次插补。

bull;以三角形网格插值：使用Delaunay三角网应用了一个插值。

参考点的选择，数据的统计准确性和标准偏差的计算

在这项研究中，使用了使用（20）计算的109个N值。表1列出了选定的18个Ni值。参考点的选择标准是它们在研究区域具有均匀分布，并且它们可用于大多数剩余点的内插。也希望插值点的数量超过插值点的数量。基于Ni值（i = 1,2，...，18），在参考点处通过四种不同的方法对其余91个点处的N0值进行插值（或外推）。由于使用三角高程测量（表2）已知N0值，因此将内插的N0值与已知值进行比较。

任何点（参考点或内插点或外推点）的局部高度的标准偏差为oH = 20 mm，任意点（参考点或插值点或外推点）的椭球高度的标准偏差为oh = 3 mm。大地水准面波动由以下众所周知的关系定义：

（20）

使用（20），N的标准偏差计算为

（21）

对于已知和内插（或外推）N之间的任何差异值，标准偏差可以计算为

表1. 18个参考点处的椭球体与局部高度（Ni值）之间的差异

表2. 91点GPS和三角高程测量高度之间的差异

（22）

其中 = = 20.2mm; 并且可以为任何插值计算（1）至（19）的误差传播规律。对于这项研究计算所有插值方法的标准偏差如表3和表4所示。如果使用表2中给出的GPS和三角高程测量测量值之间的差异，则也可以导出内插或外推差值的标准偏差。 通过使用标准偏差的经典定义，获得了以下结果：

（23）

计算得到的方法的值见表3-5。

标准偏差的重要检验

为了确定两个方差（和）在统计上是否相等，应用T检验。 零假设定义如下：

（24）

测试值T用于测试虚假设的有效性

（25）

表3 74个插值点的方法的精度测量和统计测试结果

表4. 17个外推点的方法的精度测量和统计测试结果

表5. 18个参考点的方法的精度测量

将T值与从Fisher分布表取得的a（a = 0.01）的显着性水平的值Fa，f 1，f 2进行比较。 这里，f 1是的自由度，f 2是的自由度。 二根据比较情况发生以下情况：

bull;第一种情况（如果TScaron;F） - 接受零假设H0。 对于插值方法，接受零假设并不意味着由插值方法引起的A N值存在显着误差。 换句话说，A N值仅由数据

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