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两坐标主减搬运机械人设计外文翻译资料

 2022-09-08 12:09  

英语原文共 49 页,剩余内容已隐藏,支付完成后下载完整资料


3.2研究实例:直角坐标机器人的动力学模型。

在这一节中,我们将获得三度的自由笛卡尔机器人的动态模型,并且在下一节中我们会用到这一模型。研究对象如图1所示。直角坐标机器人的运动只有直线移动而没有转动,因此,动能方程可简化成:

K(q.q)== (53)

速度被定义为:

v= (54)

而速度在公式(53)中以平方的形式出现,它的矢量表示方法如下,

v2=||v||2=vTv= (55)

由(4)和(5)得:

v=q

v=q q (56)

v=q q q

将v、v、v的解值带入(53)中,得到每个链的动能,

K(q,q)=

K(q,q)= (57)

K(q,q)=

对每个链的动能求和,

K(q,q)= (58)

该公式能分解成一下形式,

K(q,q)= (59)

同类项相加得到机器人的总动能,

K(q,q)= (60)

机器人势能为,

(61)

在计算了机器人的势能和动能后,我们使用拉格朗日法计算,

(62)

当我们用拉格朗日式(27),我们分步解决欧拉—拉格朗日等式,我们开始计算和的从拉格朗日式衍生出的和关节速度有关的问题:

(63)

继续求其关于时间的导数

(64)

独立项解如下,

(65)

因此,直角坐标系机器人的动态模型为,

(66)

为t1,t2和t3处施加扭矩。正如我们所看到的,式子(66)所显示的动态模型没有考虑摩檫力的影响

考虑一下一些物理参数

项目

符号

数值

单位

链节1质量

m

16.180

Kg

链节2质量

m

14.562

Kg

链节3质量

m

12.944

Kg

重力加速度

g

9.8100

m/g

表1 三自由度直角坐标机器人的物理参数

我们可以通过以下方式来描述三自由度直角坐标机器人的动态模型

(67)

因为这是一个直角坐标机器人,所以不存在Coriolis和向心力矩阵C(q, ˙ q)

4.汉密尔顿方程

简单有效的方法也被设计用于解决与约束有关的动力问题,一个重所周知的最有效的方法便是朗格朗日方程。拉格朗日方程在式子(27)已经被定义了。还有一个更有效的方法便是汉密尔顿方程。首先定义一个广义动量,它和拉格朗日式子L(q,q,)和广义速度q的关系如下:

(68)

一个新的函数,哈密顿函数H(q, rho;),这个函数为动能和势能的和,

(69)

由此可见,不难推导出:

(70)

(71)

这些叫做哈密顿方程,每个广义坐标系有两个哈密顿方程。他们可以用来代替朗格朗日方程。其优点是只与第一个衍生式子有关与第二个衍生式子无关。

证明:下面通过求解在等式的第一个元素,来验证哈密尔顿方程的获取,

—= (72)

为了解决这个方程中的这一部分,我们把拉格朗日方程L(q,q)视作动能K(q,,q)和势能U(q)的差,在公式(27)中。并带入方程(72)

(73)

当我们解决了局部的推导,显而易见,包含潜能U(q)的项就被消除了

(74)

并且考虑到动能K(q.q)被定义为

(75)

我们可以这样表示和求解这个方程

(76)

在这个方程中代表动量。最后,通过推导(76)我们可以得到

(77)

把方程(77)带入方程(72)中,得:

(78)

现在,为了解决方程(72)的第二部分,我们需要考虑和能量的关系,如下所示:

(79)

这样一来,我们可以这样表示方程(72)

(80)

H(q,rho;)也就是哈密尔顿方程,这代表了系统的总能量,且这个方程被定义为动能K(q,rho;)和势能U(q)的和。假定该系统的潜能U(q)是是关于q的二次微分。这个假设是以通用操作器为前提的。现在,如果我们用方程中动量的偏导求解哈密尔顿方程,我们可以发现潜能项被消去。

(81)

考虑到方程(75)中动能K(q,q)的形式,我们能够得到:

(82)

到目前为止,我们得到了方程(79)和(82),这些方程叫做Hamiltonian运动方程:

(83)

(84)

4.1工作和能量原理

当力作用在一个机构上,机构通过沿着固定轨道移动来完成工作。功W被定义为力移动一段距离所消耗的能量。并且它是能量单元的标量。

为了理解和利用“功”这一概念,我们必须先从物理角度来看待这一问题。在物理学中,很多力的作用方向不变。比如重力和电磁力。一维运动方程通过力作用下物体的位置来描述一个刚体:

(85)

功W等于力和沿力方向距离的积分,积分上限为位移初始点q和位移终点q:

(86)

在一个确定的或者数字的方式,我们都可以根据功W的积分式中可以定义U(q)这样的一个方程:

(87)

比如:

(88)

这样,我们可以把功W表示为起始点和终止点的差:

(89)

当一个物体放在某一点,这个物体便具有对应该位置的势能,而方程U(q)代表这一势能。到目前为止,我们可以知道:功可以用力F(q)来推导出来,功W在数值上也等于物体在运动起点和终点的势能U(q)之差。

从式子(86)来看,式子中的力F(q)的值,我们可以用方程(85)来替换,如下所示:

(90)

考虑到速度的定义:

(91)

我们能把变量dq写成:

(92)

这样我们就可以得到:

(93)

求解积分,我们可以得到:

(94)

正如方程(94)所示,当解开了这个积分,这个刚体的动能就出现在了式子中。众所周知在MKS系统中动能K(q.q)的单位和功W的单位都是焦耳J。到目前为止,我们可以知道,对于任何力F(q)

(95)

并且,根据式子(89)和式子(94),我们可以这样表示功W:

() (96)

把所有方程整合我们可以知道:

(97)

能量守恒原则:

(98)

这一原则适用于任何一维问题,即力的大小,方向只和位置有关的问题。方程(98)也同样满足功能原则,由作用到物体的力F(q)所得的功W数值上等价于物体动能K(q,q,)的改变。

我们很容易发现,当积分上限是无穷大,定义能量U(q)的式子(87)中能量U(q,q)的值也是无限的。尽管如此,这没有什么影响,因为在任何实际运用中,正如方程(89)中所示,我们只会看系统势能的差。明白这一点很重要,因为这让我们可以任意的定义下势能为0的点。除此之外,在任何时候,我们可以在移动过程中添加或则删除移动点,而不会影响最后的计算结果。

4.2能量原则

果。式子(98)中的系统总能量(q,q)能够视作Hamiltonian方程H(q,q),

(99)

并且由它推导的东西可以被视作功率P。功率P可以理解为单位时间下做工的速度。功率P被定义如下:

(100)

从机械的角度来看,功率(机械功率)是,通过机构或接触力而形成的作用在机械上的短暂的力。一个最简单的例子就是一个变化的力作用在一个自由粒子上。根据经典动力学,功率P就是单位时间内动能K(q,q,)的变化。而在机械学中有更为复杂的情况,比如固定轴上的旋转元件,它的惯性力始终保持恒定,在这种情况下,机械功率可以和发动机扭矩和外界作用的扭矩和关节运动速率q联系起来,即单位时间内角动能的变化率;在表示矢量系统的情况下,我们可以得到:

(101)

在这个式子中tau; isin; Rntimes;1代表末端执行器上受到的力和扭矩的矢量,而 q isin; Rntimes;1是关节运动速率。

证明:对式子

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