Analysis and Stabilization of Chaos in the Electric-Vehicle Steering System

Zhen Zhang, K. T. Chau, Senior Member, IEEE, and Zheng Wang, Member, IEEE

Abstract—This paper presents a new control method to improve the safety performance of the electric-vehicle (EV) steering system. It is found that the EV steering system exhibits unstable chaotic behaviors at certain speeds, which can deteriorate the steering performance and even make vehicles fall into spin. In this paper, a new dynamic model is proposed to describe the EV steering system, which takes into account the motor drive for EV propulsion. Moreover, both the driverrsquo;s reaction time and the disturbance caused by irregularities of the road surface are also incorporated into the EV steering model. It can be identified that periodic, quasi-periodic, and chaotic motions occur at the EV steering system with respect to different forward speeds. Thus, anew control scheme, namely the adaptive time-delayed feedback control (ATDFC), is proposed and implemented to stabilize the EV steering system from chaos to stable operation. Finally, the validity of the proposed model and control are verified. Index Terms—Adaptive time-delayed feedback control(ATDFC), chaos, electric vehicle (EV), stabilization, steering system.

I. INTRODUCTION

WITH EVER growing consumption of traditional forms of energy, the study of electric vehicles (EVs) has attracted considerable attention [1], [2]. Since the traditional engine is replaced by the electric motor, the concept of zero local emission is truly realized in EVs. The problem of environmental pollution can thus be alleviated. Along with the development of EVs, safety performance has become a major concern for many researchers. According to various studies on the causes of traffic accidents, the stability of the vehicle steering system is an important issue. Unstable dynamic lateral behaviors may cause vehicles to go out of control and even fall into a spin. While EVs are commercialized and becoming more and more popular, the stability and maneuverability of the EV steering system should be improved under various driving conditions, with a particular focus on the safety of critical cornering behaviors in an emergency.

For the steering system, studies on the safety of vehicles, particularly at a high forward speed, have received considerable attention from both the automotive industry and research institutions. A number of ideas related to steering control have been tested in experimental prototypes. As early as 1969, Kasselmann and Keranen proposed an active steering system based on a feedback signal from a yaw-rate sensor [3]. In 1976, Fenton et al. also proposed the theory of the steering system and tested several controller designs by experiments [4]. Along with the development of nonlinear dynamics, particularly the chaos theory and its corresponding analytical techniques [5]–[7], complex nonlinear characteristics were revealed in the vehicle steering system [8], [9]. As a result, many linear and nonlinear control methods were successfully designed and implemented for the steering system. For example, a linear controller and a nonlinear controller based on the feedback of the lateral displacement and the yaw rate were proposed in [10] and [11]. In 2007, Cai et al. developed a genetic fuzzy controller for automatic steering of a small-scale vehicle [12]. An adaptive steering system, which consists of a vehicle directional control unit and a driver interaction unit, was designed and implemented by Cetin et al. [13]. Additionally, a steering system with a new mechanical structure, namely the steer-by-wire system, was also presented in [14] and [15]. However, the aforementioned studies only focus on improving the mechanical structure or the control algorithm for the steering system. The driverrsquo;s reaction time is seldom considered in the dynamic analysis. In addition, the external perturbation is ignored by many researchers, which can actually cause instability of the steering system. Such external perturbation includes the disturbance caused by irregularities of the road surface, backlashes caused by the driving gear, and wind gust.

In addition, most research is targeted at the steering system for traditional vehicles and not for EVs. For example, the electric motor that is used for EV propulsion has complex nonlinear dynamic behaviors. Thus, the dynamic behaviors of the EV steering system cannot be properly described if the effect of the electric motor is ignored.

The purpose of this paper is to analyze the chaotic behavior of the EV steering system, and then propose a control scheme to stabilize the system from chaos to stable operation. The key is to take into account the characteristics of the electric motor for EV propulsion. In addition, the human reaction time and the disturbance caused by irregularities of the road surface are considered in the mathematical model of the EV steering system.

This paper is mainly comprised of four parts: mathematical modeling, nonlinear analysis, a control strategy, and verification results. In Section II, a new mathematical model of the EV steering system will be proposed, where the electric motor characteristics, driverrsquo;s reaction time, and disturbance caused by irregularities of the road surface are taken into account.

At this stage, the permanent-magnet dc (PMDC) motor will be used for exemplification, which is valid for those low-cost EVs. In Section III, based on the proposed model, various nonlinear analysis methods will be utilized to investigate the chaotic behavior of the EV steering system when the forward speed exceeds the threshold. Then, in Section IV, a new control algorithm based on the adaptive time-delayed feedback control (TDFC) method will be proposed and implemented to stabilize the chaotic behavior of the EV steering system. Since the control method is considered a general approach to stabilizing

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电动汽车转向系统的震动分析与稳定化

李嘉凡

摘要：本文提出了一种新的控制方法，以改善该电动汽车（EV）转向系统的安全性能。研究发现，电动汽车转向系统在特定定的速度表现不稳定震动行为，它可以恶化转向性能，甚至使车辆陷入空转。在本文提出了一种新的动态模型来描述EV转向系统，其中考虑到对于电动机驱动EV的推进。而且，驾驶者的反应时间和引起的路面的凹凸的干扰也纳入EV转向模式。它可以识别周期性，准周期和震动运动发生在EV转向系统相对于不同的前进速度。因此，一新的控制方案，即自适应延迟反馈控制（ATDFC），提出并实现稳定EV转向系统从震动到稳定运行。最后，进行了该模型的有效性和控制的验证。

1.简介

与传统形式不断增长的消费能量相关，电动车辆的研究（电动汽车）具有引起相当的关注。由于传统的发动机由电动机的零本地排放概念的取代在电动汽车上真正实现。环境污染问题因而可以减轻。随着时代的发展，电动汽车的安全性能已经成为一个主要问题困扰许多研究者。根据研究各种交通事故的原因，车辆转向系统的稳定性是一个重要的问题。不稳定动态横向行为可能会导致车辆失控，甚至陷入空转。 而电动车的商业化，变得越来越流行，的稳定性和可操作性的电动转向系统的应各种驱动条件下加以改进，用特别侧重于关键过弯行为中的安全一件紧急状况。

在转向系统中，车辆的安全性研究中，特别是在一个较高的前进速度，均收到了来自汽车行业和研究机构的极大关注。涉及到转向控制一些想法在实验样机进行了测试。早在1969年，Kasselmann和Keranen提出了主动转向系统基于从横摆率传感器的反馈信号。 1976年，Fenton等。还提出了转向系统的理论和通过实验测试了几个控制器设计。随着非线性动力学的发展，特别是震动理论和其相应的分析技术，复杂的非线性特征，在车辆转向系统中展示。其结果是，许多线性和非线性防治方法成功地设计和实施为转向系统。例如，线性控制器和基于横向的反馈的非线性控制器位移和横摆率中[10]和[11]提出了。2007年，蔡等人。开发了遗传模糊控制器一个小规模的汽车[12]自动转向。自适应转向系统，它由一个车辆方向控制的单元和驱动器的交互单元，设计并实现通过切廷等。 [13]。此外，转向系统新的机械结构，即转向线控系统，还在[14]和[15]进行了展示。

然而，上述研究只注重提高机械结构或用于控制算法转向系统。在动态分析中驾驶员的反应时间很少考虑。此外，外部干扰被许多研究者，这实际上可以忽略造成转向系统的不稳定性。这样的外部扰动包括扰动引起的道路的凹凸表面上看，造成驱动齿轮和阵风晃动。此外，大多数研究是针对用于转向系统传统的车辆和未对电动汽车。例如，电是用于电动汽车的推进马达具有复杂的非线性动态行为。因此，电动汽车的动态行为转向系统行为不能被正确描述电动机而忽略。

本文的目的是分析在EV转向系统的震动行为，然后提出的控制方案来稳定转向系统的震动，以稳定运行。 钥匙是要考虑到电动机的特性电动汽车的推进。此外，人的反应时间和引起的路面的凹凸的干扰被认为是在EV转向系统的数学模型。

本文主要由四部分组成：数学建模，非线性分析，控制策略和验证结果。在第二节的一个新的数学模型电动转向系统将被提出，其中，考虑到了电动马达特性，驾驶反应时间，和干扰造成的由路面的凹凸。

在这个阶段中，永磁直流（PMDC）电机用于做例示，这是为了有效的模拟那些低成本电动车。在第三部分的基础上提出的模型，各种非线性分析方法将利用调查电动汽车转向系统的震动行为当正向的速度超过所述阈值。然后，在第四节，一个新的控制基于所述自适应时间延迟反馈算法控制（TDFC）方法将被提出和实现稳定EV转向系统的震动行为。由于控制方法被认为是一种通用的方法，以稳定的一类连续时间震动系统的用时间内，讨论将集中在其实施拟议EV转向模型，而其数学推导将在附录中的一般形式划定。因此，在第五部分，详细的模拟结果会提供给验证所提出的模型和的有效性控制方法。

2.建模

不同于传统汽车，电动汽车采用电推进电机。因此，电动马达的动态特性显著影响电动转向系统。这里，一个新的数学模型具体描述EV转向系统开发，其中该转向系统的模型和电动机的模型是新引入在一起非线性分析和控制器的设计。此外，无论是司机的反应和违规行为造成的干扰路面的在该建模都应被考虑。

对于造型，EV具有刚性的质量和不断沿一条直路加速前进。电动汽车的重心是位于本体固定的局部坐标系，如图1。因此，在EV转向的运动能够通过2-D微分方程进行描述。

第一，横向运动方程由下式给出

M（VL VyV）=2FF COSdelta; 2FR（1）

其中，VL是在本地的横向速度的坐标系，VY是坐标偏航速度相对于所述本地系统中，V是在EV前进速度，FF和FR，分别代表的前部和从所得的后轮横向力delta;的轮胎和路面之间的摩擦，误在EV的质量，并且是施加在所得转向角前轮。

第二，偏航运动方程由下式给出

Izgamma;˙=2 LF COSdelta; - 2左（2）

其中，LF是从前轴到中心的距离，LR是从后轴的中心的距离重力和IZ是在EV体的惯性的横摆力矩绕垂直轴旋转。在这种模式下，由（1）和（2），FF和FR是功能轮胎和侧滑的物理性质的分别在前轮和后轮，角度（alpha;F，alpha;R）。 从而，在EV动态行为取决于轮胎的精度模型。因此，许多研究人员已经提出了各种轮胎模型，特别是如何来形容它的转弯力特点。其中，一个数学模型被称为神奇的公式[16]被认定是最可行的，实际执行，这是由下式给出

Ff =Df sin_Cf tanminus;1_Bf (1minus;Ef )alpha;f Ef tanminus;1(Bfalpha;f )__(3)

Fr =Dr sin_Cr tanminus;1_Br(1minus;Er)alpha;r Er tanminus;1(Bralpha;r)__(4)

其中数字系数Bi，CI，DI和Ei（I = F，R）在表I中列出在固定坐标系中，如示于图1，（XN，YN）表示质心的坐标，和psi;表示在EV航向角相对于所述道路中心线。 然后，它产生

] y˙N =Vl cos psi; V sin psi; (5)

˙psi;=Vy. (6)

等式（5）可以写成

Vl =( ˙ yN minus; V sin psi;)cos psi;. (7)

等式（1）和（2）可以写为

Vl =2Ff cos delta; 2Frmminus; VyV (8)

˙Vy =2LfFf cos delta; minus; 2LrFrIz. (9)

通过区分（8）和（9）相对于时间t和代（5）和（6），基本模型描述的横向在固定坐标EV的动力可所获得

yN =2[Ff cos delta; Fr] cos psi;mminus; tan psi;[ ˙ yN minus; V sin psi;] ˙psi; (10)

psi; =2[LfFf cos delta; minus; LrFr]Iz. (11)

对于电动汽车的推进，不同类型的电动机能使用[1]。为简单起见，PMDC电机采用范例。应当注意，当交流电动机采用，采用矢量控制的可变换控制变量直流分量类似于直流电动机。该永磁直流电机的数学模型[1]可表示为

omega;˙ =KT Ia minus; Bmomega; minus; TlJm(12)

I˙a =Vin minus; KEomega; minus; RaIaLa(13)

其中omega;是电动机转速，1a是电枢电流，KT是转矩常数，KE是反电力常数，Ra为电枢电阻，La为电枢电感，Bm为粘性阻尼，JM是瞬间惯性，T1是回复转矩，和Vin是输入电压。

此外，V和omega;之间的关系可以表示如下

V = nomega;R (14)

其中R代表轮胎的半径，n是速度电机转速和之间的减速比车辆前进的速度。通过用（14）至（10），它产生

yN =2[Ff cos delta; Fr] cos psi;mminus;tan psi;[ ˙ yNminus;nomega;Rsin psi;]psi;˙ . (15)

因此，在EV转向系统的数学模型固定坐标系中可以通过（11）进行说明 - （13），和（15）。在本文中，时间上的稳定性影响延误电动转向系统，它是由驾驶员的响应引起的，被认为。驾驶员模型中[17]采用提出如下：

delta;(t) = minus;K_y(t minus; Tr) LVy˙(t minus; Tr)_(16)

其中delta;（t）的从驾驶员的响应表示转向角，和TR表示所引起的驾驶员的时间延迟响应。此外，车辆容易受到外部干扰，如路面的不规则性，晃动从驱动齿轮，阵风等。因此，扰动术语Qcos（2pi;fdt）被包括考虑到可能的在EV转向系统中发生的外部干扰，其中Q表示周期性扰动[18]的幅度。因此，所得到的转向角delta;（t）可以被表示为

delta;(t)=minus;K_y(tminus;Tr) Lnomega;Ry˙(tminus;Tr)_ Qcos(2pi;fdt) (17)

其中扰动频率fd是关系到电动车前进速度V和恒定干扰增益的Kd。它由下式给出FD= KDV。 （18）因此，在EV转向系统方程可以写在国家形式如下：

x˙ 1 =x3 (19)

x˙ 2 =x4 (20)

x˙ 3 =2 [Ff cos delta;(t) Fr] cos x2mminus; tan x2[x3 minus; nomega;Rsin x2]x2 (21)

x˙ 4 =2 [Lf cos delta;(t) minus; LrFr]Iz(22)

x˙ 5 =KT x6 minus; Bmx5 minus; TlJm(23)

x˙ 6 =Vin minus; KEx5 minus; Rax6La(24)

其中，x（t）的=（YN，psi;，YN，psi;˙，omega;，Ia）。因此，前轮和后轮中的术语的侧滑角的状态变量，分别获得

alpha;f = arctan_x3 minus; nx5Rsin x2 Lfx4 cos x2V cos x2_minus;delta;(t) (25)

alpha;r= arctan_x3 minus; nx5Rsin x2 minus; Lrx4 cos x2V cos x2_. (26)

最后，上述的建模是基于一些假设或工作的评价如下假设。

1）对于在EV重量，人的体重发生只有一小部分。因此，在所提出的，则忽略EV转向模式。由于质量独立的时间，质量差异引起的这种假设不会显著影响的动态特性在EV转向系统。

2）所引起的转向机构的时间延迟是忽略，因为它是远小于从得到的延迟

人的反应。因此，驾驶员的反应时间被认为是作为唯一的时间延迟存在于提出的EV转向模式。

3）车辆的轮胎的滚动阻力理论上取决于在轮胎的类型，轮胎压力，轮胎温度，车辆速度，胎面厚度，层数，和转矩传输水平。由于它的变化不那么显著作为与道路负载相比，它被假定为一常数和吸收到的复原扭矩。

4）在现实中，扰动引起的不规则性道路是非常复杂的。为了研究的稳健性提出的控制方法，相应的干扰被假定为Qcos（2pi;fdt），如在[18]中提出。

3.分析

为了评估在EV转向系统的安全性，非线性在psi;动力学进行了研究相对于不同的V秒。由于Vin被通常用于执行的速度控制PMDC电机，psi;和Vin的之间的关系是进行分析。电动汽车转向系统的非

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