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基于GARCH和极值理论的VaR模型在中国银行间发行市场的应用

摘要：风险价值（VaR）已成为金融分析师用来量化市场风险的标准度量方法。VaR是指在一定范围内金融工具的给定概率的最大潜在价值变化。本文首先将GARCH-GJR模型与极值理论相结合，描述了上海银行间同业拆借利率收益序列的统计特征。然后，运用POT方法对创新点进行分析，并对VaR和ES进行估计，通过回溯检验，发现该模型适用于我国银行间同业拆借市场系统风险的度量，有助于分析我国利率风险、趋势和利率市场变化的原因。

关键字：VaR；Garch；风险管理；同业拆借

一、文献综述

自2007年全球金融危机爆发以来，随着金融危机的频繁发生，金融市场的波动越来越频繁，这使得金融监管机构和市场从业人员对资产价值的变化尤其敏感。同时，财务风险管理也变得越来越重要。一般来说，风险管理包括四个补充步骤：识别、评估、监控和控制。其中，风险评估是后续风险控制的重要前提。风险度量方法经历了许多变化，从传统的工具——标准偏差到风险因素（如持续时间和伽玛）的稍微复杂的敏感指标，到现在广泛使用但极具争议的风险价值（VaR）方法。

由于风险价值在1993年7月在30国集团报告中首次得到广泛代表，因此风险价值的使用和使用数量大幅增加。但重要的是要认识到，自风险价值技术最初出现以来，它已经经历了重大的改进，并通过了基本的过程更改。Jorion（1997）和Dowd（1998）发起了以风险价值作为风险度量的理论研究，他们采用了基于风险管理的风险价值方法，通过选择或通过监管将其作为行业标准。J.P.Morgan（1998）对金融机构和非金融机构基于风险的价值管理进行了研究和描述，它的广泛使用是因为风险价值是一种易于解释的风险汇总度量，并且具有吸引人的解释，因为它允许用户关注正常的市场状况。在他们的日常操作中。风险价值模型将价格风险的几个组成部分汇总成一个单一的定量指标，用以衡量特定时间范围内的潜在损失。

金融和监管界对这类模型的认可使其的运用日益广泛。金融监管与巴塞尔银行监管委员会一样，要求美国银行使用VaR来确定支持其交易组合的最低资本。自1998年以来，证券交易委员会要求注册人提供有关市场风险的定量信息，VaR是披露的备选方案之一。

现有的与VaR相关的学术文献侧重于从不同的估计方法到不同的计算模型来衡量风险价值。VaR方法论的第一部经典著作主要区分三个基本估计概念：历史模拟、蒙特卡罗和情景模拟。Duffie和Pan（1997）对VaR方法进行了系统的研究，并讨论了金融产品在计算VaR时存在的问题。Ricardo（2003）提出，如果采用GARCH模型计算VaR，必须达到精确的条件波动性。Kevin Down（2005）一书介绍了VaR和ES在衡量市场风险方面的优缺点。恒德宗（2008）研究了中国的利率风险，提出了一种基于GED分布的GARCH模型来描述中国银行间市场的利率风险。上述文献大多只考虑了金融资产价格和利率下跌的风险。但利率也有其特殊性，金融机构的利率升降都需要控制风险。本文的创新点在于，我们对收益的右尾和左尾进行建模，以计算风险度量的VaR。

本文的其余部分结构如下：简要概述VaR和ES的一般概念，我们将在下文详细说明基于极值理论的VaR模型及其相关参数估计方法。我们重点介绍了基于GARCH方法和EVT的VaR模型在上海银行同业拆借利率中的应用，并对全文进行总结。

二、VaR模型与极值理论

（一）VaR和ES的基本概念

在本节中，我们首先给出了VaR和ES的定义，并讨论了它们的用途和基本特性。设X为累积分布函数的变量,X可以表示投资组合的损失或收益。

定义1 VaR

置信水平为isin;（0,1）的的VaR为

无论是为了报告风险还是衡量资本充足率,VaR已经成为风险管理的一种流行的风险度量方法。尽管它被广泛接受，但它不是一个一致的风险度量，一致性风险度量应满足翻译不变性、次可加性、正同质性和单调性的条件，但VaR缺乏次可加性。风险的另一个信息性度量是预期不足，也被称为平均超额损失或尾部VaR。ES是一个更加一致的风险度量，因为它是次加性和凸性的，接下来给出ES的正式定义。

定义2 预期缺口

对于具有条件分布函数的随机变量X，ES是时间范围和置信水平的VaR以上损失的条件预期，即

（二）极值理论与POT法

极值理论是概率论中的经典课题，关于这个问题有很多书和调查，这里我们打算给出一些EVT的直觉和基本结果。

通常有两种相关的方法来识别实际数据中的极值。设一个随机变量表示日损失或收益，第一种方法考虑变量在连续时间段（例如周、月或年）中所用的最大值（或最小值）。这些选定的观测值构成了极端事件，确定这些选定的极端值的方法称为块最大值法（BMM）；第二种方法关注于实现超过给定值。BMM是传统的季节性数据分析方法，然而峰值过阈值（POT）方法更有效地利用了数据，似乎是近年来应用最广泛的一种选择方法。在接下来的部分中，详细介绍了POT法。

我们着重于估计某一阈值上X值的分布函数Fu，被称为条件超额分布函数（cedf）。

其中x是一个随机变量，u是一个给定的阈值。根据条件概率公式，我们有：

并将广义帕累托分布（GPD）定义为

以下是GPD的一项由Pickands（1975年）提出的重要理论，对于底层分布函数F，条件超额分布函数Fu足够大，其中Xf是分布f的右端点（可能是无限的）。这一结果表明，GPD成为过量分布函数的精确近似值。一旦选择了阈值，就可以通过最大似然函数来估计GPD的参数。基于对数可能性的公式根据n个高阶统计量计算得出：

三、实证研究

随着利率市场化的深入，我国金融市场基本利率的确定变得越来越重要。为了建立金融市场的基本利率，中国人民银行于2006年10月8日开始实行上海银行间同业拆借利率。本部分采用Shibor数据隔夜利率的算术平均值进行实证研究，研究过程分为以下几个步骤：

1、利用GARCH模型拟合Shibor的对数回归序列，得到具有近似i.i.d分布的残差序列。

2、利用EVT分析Shibor的残差序列，估计残差序列的VaR和Es。

3、在前两步的结果下，我们可以计算Shibor收益的VaR和Es。

研究结果有助于分析利率风险和中国利率市场变化趋势及原因。

（一）研究数据和统计特性

本文将以日隔夜数据为主要研究对象。所有数据均来自上海银行间同业拆借利率官方网站（http://www.shibor.org/），原始数据包括813份从2006年10月8日至2009年12月31日的每日隔夜值观测。我们将使用r来表示Shibor的回报率，下图给出了所选期间Shibor的价格趋势和回报顺序。

利用Matlab2008数学软件，我们可以很容易地描述Shibor收益的统计特征，以便对其进行详细的图形解释。

关于SHIBOR回归的经验事实是众所周知的，可以总结如下：

1、对数回归分布是一种特殊的瘦骨化分布，即尾部较重，峰值高于正态分布。

2、利率收益率呈正偏态，与其他股权分配形成鲜明对比。

3、收益具有显著的自相关关系，即市场因素的波动倾向于集群。

当我们选择一个VaR模型来衡量利率的金融风险时，所有这些特征都应该被考虑进去。

（二）关于返回日志的GARCH模型选择

回归序列通常需要固定来构建模型，因此我们进行了单位根检验，结果表明Shibor的对数回归序列是平稳的。此外，我们还对残差进行了q检验和LM检验，表明残差存在明显的异方差，建立一个适合logreturn系列的GARCH模型是合理的。

（三）VaR和ES的估计

我们对标准化残差序列的VaR和Es结果进行计算，图中显示了GPD拟合的剩余数据的影响和分位数-分位数图（Q-Q图），这两个图都表明已经实现了非常满意的拟合，参数估计结果如下：

基于以上分析我们可以得到Shibor收益的VaR和Es估计，下表中显示了高（99%或1%）和低（95%或5%）置信水平的Shibor右尾和左尾的VaR和Es。

（四）VaR估计的事后检验

本文采用了Kupiec（1995）提出的失效率试验方，如果实际损失低于估计的VaR，则表示成功；反之，则表示失败。如果实际学习天数为t，则失败天数为n，则失败频率为p（=n/t）。通过比较P和置信度P*=1minus;alpha;（无论接近或相等），故障率测试判断估计VaR模型的有效性。如果VaR的估计值是独立的，那么失效天数是以二项分布的形式分布的，即N~B（t，p）。对于零假设，Kupiec建议最合适的检验是似然比检验。在零假设条件下，服从自由度为1的chi;2分布，在99%（或95%）的置信水平中，表中显示了经验数据右尾VaR测试的结果，表明我们的VaR模型适合测量Shibor的风险。

（五）总结

本文将GARCH-t-GJR模型与极值理论相结合，用以描述Shibor回归序列的统计特征，而不是单纯使用极值理论。首先，我们建立了一个GARCH模型来拟合对数回归序列的相关性和Heterskd相关性。模型参数采用极大似然估计法进行估计。然后利用EVT对创新点进行分析，对VaR和Es进行估计，最后对Shibor的回归序列进行实证研究，通过后验，发现该模型适用于Shibor的数据分析。

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