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一种基于模糊物元优化的集成设计方法

Y.W. Zhao^a,*, G.X. Zhang^b

^a浙江工业大学机械工程学院，浙江杭州3l00l4

^b上海大学机械与电子工程学院，上海200072

摘要：本文提出了一种基于模糊物元优化的集成设计方法。在分析多目标模糊物元模型的基础上，本文对物元加权进行了解，并将求解多目标模糊优化的问题转化为求解单元的相关函数K（X），根据优化准则进行客观优化。

本文特别描述了GA过程的多目标模糊物元优化的实现方法：编码，生成初始种群，配置函数，选择算子等。在此过程中，自适应宏观遗传算法（AMGA）用于提高进化速度。本文改进了两个遗传算子：交叉和变异算子。同时提出了改进的自适应宏观遗传算法（MAMGA），并用于解决优化问题。

使用表格和图形比较了三种优化方法，即模糊物元优化方法，线性加权方法和模糊优化方法，表明MAMGA不仅比AMGA好一点，而且达到了它的程度。有效迭代生成是简单遗传算法（SGA）的62.2％。通过计算最优实例，本文报道的改进遗传学方法比本文参考文献中的方法要好得多。

关键词：多目标优化；模糊物元；遗传算法；方案设计

1.引言

普通多目标问题的数学模型如下：

由子目标函数，，...，表示的项目种类是矛盾的，即子目标的最佳点不是同一点，并且难以使子目标同时达到最优。实际上，大多数多目标优化问题并不存在于最优解决方案之上。因此，通过协调，人们可以获得适合工程实践的最优方案。这被称为多目标优化的解决策略。

本文采用模糊物元[1]的分析，将多目标优化转化为单目标优化：多目标模糊物元优化。多目标优化模型可以用物元形式[1]来描述。如果设计对象的名称被视为物元特征，并且目标函数的值被视为数学度量值，则多目标[2]的物元素形式将变为如下：

其中M是产品的预期方案；第i个小目标的名称；X是设计变量，是第i个目标函数。

一些目标函数仅是定性术语集，因此难以定量计算。另一方面，即使各个目标函数是普通的数学方程，尺寸也不同，子目标函数之间的差异很大，如果直接求解，误差也很大。因此，设计对象的物元形式可以转换为模糊物元形式。方程的模糊物元模型（2）式可以写成

其中是I维的机械产品物元模型；是第i个子对象的名称；是机械产品的优良度，其子对象对应于（i = 1,2，...，I），isin;[ 0，1]。

如果是一个普通的数学函数表达式，根据优化原理，一个优秀的依赖度函数如下：

其中是第i个对象的理想最小值，是第i个对象的理想最大值，i=1,2，...，I。

如果是定性术语集，则这些术语在数量上需要处理并使用[0,1]的值附属区间来表达它。表1给出了一个定性的例子。

表1 定性备注数量

在设计中，相应的子对象具有不同的权重。设为方案模糊物元子对象的权重复合物元素，（i=1,2，...，I）为各自的客观权重，则：

根据依赖程度，可以判断该方案是否好。依赖程度越大，方案越好。依赖度k的计算公式如下：

或

其中是依赖系数。

多目标模糊物元优化问题可以转化为单目标模糊物元优化问题。它满足：

2.基于GA的求解策略

本文通过GA的三个主要算子，即选择，交叉和变异来实现求解过程并演化人口。本文采用自适应宏观遗传算法（AMGA）[3]来提高演化速度。现在定义如下两个定义。

定义1.让人口规模为m并通过遗传操作的新方案产生u（ule;m），所以方案的数量增加到m u。上述过程称为发散过程。

该文件修改了AMGA；新产品方案u由交叉概率和突变概率决定。而且，u在每一代都不同。因此，算法将具有随机搜索的特性，这也满足了适应性需求。

定义2.从m u方案中选择m个更好的个体并将它们设置为父代。上述过程称为收敛过程。

显然，每次迭代都是一阶段的菱形思维过程，它首先是发散的，然后是收敛的。整个迭代过程可以看作是一个连续发散和收敛的多阶段菱形思维过程。

因此，AMGA也可以模拟菱形思维方法。GA的求解策略如图1所示。GA解决的关键技术将讨论如下。

图1. GA的解决策略

2.1.编码

本文主要采用实数编码方法。例如，在驱动方案的优化设计中，两级驱动方案可以使用X={N₁,b₁,N₂,b₂}编码。其中N₁和N₂分别是第一级和第二级的驱动结构编号，它们是以1开始的自然数；b₁，b₂是第一级和第二级的驱动比，它们也是大于0的数字。

2.2.产生初始人口

GA应用人口一般搜索方法。假设初始种群的大小是m，则初始种群的生成意味着产生m个初始方案：方案M₁-X₁，方案M₂-X₂，方案M_m-X_m。

假设方案M_I（I=1,2,...,m）具有n个设计对象，那么它可以表示为mtimes;n的复合物质元素：

其中（i=1,2，...，m；j=1,2，...，n）是第i个方案的第j个对象卓越度； M_i是第i个方案的名称；以及是第j个对象。因此，每一个卓越程度都可以变成相应的相对系数，并建立相对系数复合模糊物元素，这样_xi;即：

其中是第i个方案的第j个相对系数，其可以通过相对变化确定=，（i =1，2，...，m；j=1，2，...，n）。

2.3.适应度函数

适应度函数是个人竞争措施，控制个体生存的机会。如果多目标优化不受约束，则将模糊物元的依赖度函数视为适应度函数。然而，如果约束多目标优化问题，则需要约束依赖度，然后将约束依赖度视为适应度函数。适应度可写为

其中是罚函数：当X隶属于可行区域时，=1；当X不隶属于可行区域时，lt;1.作为以下非线性规则问题：

罚函数构成如下：

其中是约束函数j，alpha;是调整惩罚严格性的参数。

因为通常b_j=0，对于，应该简单地转换术语，并应用该方法来解决约束问题。

2.4.选择运算符

初始方案由初始人口产生。它的性质通常很差，因此需要通过遗传操作进化方案染色体。在选择中，产品的染色体适合度提供选择压力。染色体的适应性很高，很有可能被选中。个体的频率是，其中是个体适应度,是个体健康度的总和。

2.5.交叉和变异算子

交叉概率Pc和变异概率P_m是GA有效执行中的关键和敏感参数。P_c越大，它就越容易导致新的染色体。然而，随着P_c的增加，选择的染色体将更容易被破坏。该突变是恢复基因材料的次要操作者，它可以防止算法过早地收敛到局部最佳点。当P_m太大时，GA将成为绝对随机搜索算法。如何设置P_c和P_m是增强GA收敛性的重要问题。参考文献[4]，观察到人口的最大特征值和平均特征值之间的差异,

因此，P_c和P_m将变为的值。另一方面，如果P_c和P_m对于总体的所有解都具有相同的值，这意味着具有高特性值的解以及具有低特征值的解将具有相同的值。突变和交叉的水平，这肯定会恶化GA的表现。参考文献[5]中提出了更新P_c和P_m的自适应策略。采取以下形式：

和

其中k₁，k₂，k₃和k₄必须小于1.0，以将P_c和P_m约束到0.0至1.0的范围；fc是选择用于交叉的个体的最大值；并且是应用变异概率P_m的第i个染色体的数量。

吴等人[4]调整了（16）方程的变异概率，如下。

随着GA的收敛，每个群体中染色体之间的距离将变得越来越小。第i染色体和其他染色体之间的距离的总和表示为：

通过将适合度距离的总和除以（n-1）max_j| f_i - f_j |来获得归一化的适合度距离：

这样被限制在（0，1）的区间。已经发现一种有效的方法来使用来调节变异算子。当很大时，染色体很大程度上偏离了种群，因此染色体的概率更高。这可以通过将突变概率设置为以下方程来完成：

在（15）和（19）式中，高灵敏度解决方案受到保护，而具有低于平均值的解决方案则完全被破坏。

（1）交叉运营商的改进

当演化倾向于稳定时，需要降低交叉概率，并且随着迭代生成的增加，P_c将减小。因此，修改的交叉概率方程是

其中k₁，k₃，k₅，k₇是约束交叉概率的常数，约束P_c的范围在[0.5,1]之间；一般来说，k₁ k₃ k₅le;1；T为最大的迭代生成；t为目前的迭代生成；其他符号与以前相同。

（2）变异算子的改进

突变概率P_m也是一个灵敏的参数，它是一个操作员，它可以保持人口的变化，并且还可以控制早熟现象。然而，当进化趋于稳定时，人们希望它不会破坏人口。随着代的增加，P_m将会减少。而且，在目前的突变中，如果好的染色体发生突变，它可能会被破坏。因此，应该保护高染色体的染色体，并且应该尽量不让它变异。应该损坏低于平均值的染色体。因此，改进的突变概率如下：

其中k₂，k₄，k₆，k₈是约束变异概率的常数，它们通常使P_m位于[0,0.1]区间，k₂ k₄le;0.1且k₆ k₈le;0.1，

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