论文总字数：6110字

摘 要

关键词: 周期函数，零点，最小正周期，奇函数

Abstract: In this paper,we introduced the definition of the periodic functions. Then we discussed the period of periodic function,the distribution of zero points and the methods for minimal positive period.

Keywords: periodic function,zero poing,minimal positive period,odd function

目录

1 前言…………………………………………………………………4

2 周期函数的定义……………………………………………………4

3 函数的周期性和对称性……………………………………………5

4 抽象函数的周期性…………………………………………………6

5 周期函数的零点分布情况…………………………………………10

6 求函数最小正周期常见的方法……………………………………11

7 周期函数周期的一些性质…………………………………………13

结论……………………………………………………………………16

参考文献………………………………………………………………17

致谢……………………………………………………………………18

1 前言

函数是数学中的一个重要组成部分，周期性是函数的一个生动而有趣的性质，在高考中有着一个非常重要的位置，在中学各部分知识中都有体现，也是学习高等数学的基础．在高考中常常考察学生对周期函数定义，性质的理解与应用，所以对周期函数做一些探讨是有必要的.

2 周期函数的定义

如果有一个非零常数，使得函数对定义域内每一个，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数就叫做这个函数的周期，如果在周期函数的所有周期里有一个最小的正值，那么这个最小正值就叫做函数的最小正周期.

由以上的定义可以得出周期函数的周期和定义域有以下不同的情形：

① 只有正周期而没有负周期，定义域上无界.例如：函数，有正周期，而没有负周期.

② 只有负周期而没有正周期，定义域下无界.例如：函数，有负周期，而没有正周期.

③ 既有正周期又有负周期，定义域上下无界.例如：函数，有正周期，有负周期.

周期函数不一定有最小正周期，情况如下：

① 若周期函数只有负周期没有正周期，则此周期函数没有最小正周期.例如：函数，有负周期，而没有正周期，函数当然没有最小正周期.

② 若周期函数有正周期，但在所有的正周期中找不到最小正值，则没有最小正周期.

例如：常数值(是常数）是实数集上以任意非零实数为周期的周期函数.

周期函数的性质

① 若是函数的周期，则不一定是的周期.例如：函数，有正周期，而就不是它的周期.

② 若是的周期，则(为任意正整数，这里不可以说为任意整数)也是的周期.例如：函数，有正周期，但当为任意负整数时，就不是函数的周期.

③ 若是函数的周期，则也是一个周期函数，其周期为，不一定是.例如：函数，有正周期，而函数，有负周期，而不是.

④ 若()是的周期，则是周期函数，其周期还是.

3 函数周期性和对称性

对函数周期性和对称性的描述如下：

结论1 如果对定义域内的任意一个，函数都有(为不等于零的常数)，则函数为周期函数，为它的一个周期.

结论2 如果对定义域内的任意一个，函数都有(为常数)，则函数的图像关于直线对称.

结论3 如果对定义域内的任意一个，函数都有(为不相等的常数)，则为周期函数，且为它的一个周期.

结论4 如果对定义域内的任意一个，函数都有(为不相等的常数)，则函数的图像关于对称.

结论5 如果对定义域内的任意一个，函数都有(为不等于零的常数)，则函数为周期函数，为它的一个周期.

结论6 如果对于定义域内的任意一个，函数都有(为常数)，则函数的图像关于直线对称.

例1 已知定义在实数集上的函数，满足，当时，.

1. 求时，的表达式；
2. 证明是上的奇函数.

解 (1)由，则，又由，，

，

故，.

（2）证明 ，由(1)知，当时，，当时，，说明在上是奇函数，且，令，则

.

再令，则

，

即

.

令，则

.

再令，得，说明的周期为4，在上是奇函数，

所以在上是奇函数.

4 抽象函数的周期性

几种抽象函数的周期性

结论7 如果对定义域内任一实数，函数满足（其中为一个常数）,那么是以为周期的函数.

证明 由，令，则，，将用表示，得,故是以为周期的函数.

结论8 如果对定义域内任一实数，函数满足（其中为一个常数），那么是以为周期的函数.

证明 由，知，

，，

，

故的周期是.

结论9 如果对定义域内任一实数，函数满足（其中为一个常数），那么是以为周期的函数.

证明 由结论8知,则，得，

故是以为周期的函数.

结论10 如果对定义域内任一实数，函数满足（其中为一个常数），则是以为周期的函数.

证明 由结论8知，则，，

故是以为周期的函数.

结论11 如果对定义域内任一实数，函数满足（或的图像关于点成中心对称）

1）若为奇函数，则其周期为；

2）若为偶函数，则其周期为.

证明 1）由为奇函数知，，由题意

，

则

，

故是以为周期的函数.

2）由为偶函数知，由题意知

，

故是以为周期的函数.

结论12 如果函数满足对定义域内任一实数，有函数的图象关于直线和都对称，那么函数是以为周期的函数.

证明 由关于对称，则有，同理，所以，令

，

则

，，，

再令，则

，

故的周期是.

推论 如果函数满足对定义域内任一实数，函数的图象关于两点、都对称，那么函数是以为周期的函数.

证明 的图像关于点对称，所以的图像上任意一点关于点对称的对称点必在的图像上，所以点的坐标，所以，.同理可证， ，所以

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