本科毕业设计（论文）

外文翻译

质心力作用下的两体质心问题

作者：约翰·R·泰勒

国籍：美国

出处：《经典力学》

在本章中，我们将讨论两体运动问题，每个物体对另一个物体的作用力只有保守力，且不受其他“外部”力量的影响。 这个问题可以引出很多例子：双星系统的两颗恒星，围绕太阳运行的行星，围绕地球运行的月球，氢原子中的电子和质子，双原子分子的两个原子。 但真实情况一般更为复杂。 比如，我们只对围绕太阳运行众多行星中的一颗进行研究时，也不能完全忽视其他所有行星的影响; 同样的，地月系统也受到来自太阳的外力作用。 然而，在问题研究的过程中，我们将两个物体近似的视为不受外力影响，是理想化模型。

但有人可能会反对氢原子和双原子分子这个例子，因为其不属于经典力学范畴，因为所有这些原子级系统必须用量子力学来处理。 但是，在本章中提出的许多观点（例如，折合质量的重要思想），在量子力学的两体问题中起着至关重要的作用，可以说本章所涉及的内容是解决相应量子力学问题的必要先决条件。

8.1问题

让我们考虑两个物体，质量分别为和。 出于本章目的，我们假定两个物体足够小，可以被视为质点，其位置由和表示（相对于某些惯性参考系的原点O）。 唯一受到的力是两个物体之间的相互作用力和，这个力是保守力并且作用在物体质心上。 因此，这个力的大小可以由势能U（，）导出。 两个天体（例如地球和太阳）之间的相互作用力的大小即为引力大小，同时具有相应的势能（如第4章所示） 。

(8.1)

对于氢原子中的电子和质子，电势表达式与电荷量有关（质子为e，电子为-e）。

(8.2)

其中k表示库仑常量，。

在这两个示例当中，U仅取决于差值（），而不是分别取决于和。 正如我们在4.9节中看到的，这不是偶然：任何孤立的系统都是平移不变的，如果U（，）平移不变，那么它只依赖于（）。 在这种情况下，还可以继续进行简化：正如我们在4.8节中看到的那样，如果保守力作用于物体质心，那么U与（）的方向无关。 也就是说，它只取决于的大小，即：

U() =U(||) (8.3)

与上述（8.1）和（8.2）中的情况一样，利用公式（8.3），可以引入新的变量：

(8.4)

如图8.1所示，这是质点1相对于质点2的位置，我们将r称为相对位置。 重新描述前一段的结果，即势能U仅取决于相对位置r的大小r，

U = U (r) (8.5)

图8.1 相对位置r=为质点1相对于质点2的位置

现在我们找到了亟待解决的数学问题：我们需要找到两个物体（如月球和地球，或电子和质子）间可能的的运动状态，其拉格朗日是：

(8.6)

当然，我们同样可以用牛顿运动定理来说明这个问题，事实上我们可以在拉格朗日和牛顿运动定理之间选择一个更简便的形式。 就目前而言，拉格朗日在实际应用时更为简便。

8.2质心和相对坐标；折合质量

我们的首要任务是确定用于解决问题的广义坐标。 根据前文，我们使用相对位置r作为其中一个坐标（或者根据你确定的坐标系，使用其中三个坐标），因为势能U（r）用r来表示更为简洁。 问题在于另一个（向量）变量如何选择。 最佳选择是在第三章中所定义两个物体的质心（CM）位置R，

(8.7)

用M表示两个物体的总质量：

正如我们在第3章中所见，两个质点的质心位于它们的连接线上，如图8.2所示。 质心距质量分别为和的的质点的距离比为/。若远大于，则质心非常靠近质点2.（在图8.2中，/约为1/3，因此质心到的距离是两质点间距离的四分之一。）

图8.2 两个质点的质心位于它们连接线上的位置

3.3节中提到，两个质点的总动量与质量为M = 的质点动量一致并且随其变化。

P =M (8.8)

这一简化结果非常重要：首先，我们知道总动量是恒定不变的。根据式（8.8），可以得出Ṙ是常数; 因此，我们可以选择质心处于静止状态的惯性参考系。我们在下文中会了解到，这个质心参考系非常实用，一般用于分析质点的运动过程。

我们使用质心位置Ṙ和相对位置r作为广义坐标来探讨两个物体的运动过程。 就这些坐标而言，我们知道势能可以采用简单形式U = U（r）。 为了用这些变量来列出动能的表达式，我们需要根据新的R和r来表示先前的变量和。以下是和的表达式（见图8.2）。

和 (8.9)

因此动能的表达式为：

T=

=

= (8.10)

此处我们引入一个新的参数mu;，从而使（8.10）的结果得到进一步的简化。

mu; = (8.11)

另一维度的质量，称为折合质量。 我们可以准确得出始终小于和（因此得名）。 若 lt;lt; ，则mu;非常接近。 因此，日-地系统的折合质量几乎与地球的质量相等; 氢原子中电子和质子的折合质量几乎与电子的质量相等。 另一方面，如果=，则显然mu;= 1/2

回到（8.10），我们可以用mu;表示重写动能。

(8.12)

以上结果表明，总动能与两个“虚拟”质点的总动能相同，其中一个质量M的运动速度与质心运动速度相同，另一部分（折合质量）随着相对位置r移动。拉格朗日相应结果为：

L=T-U= (8.13)

我们可以看到，使用质心和相对位置作为我们的广义坐标，将拉格朗日分成两个独立的部分，其中一部分只与质心坐标R有关，另一部分只与相对坐标r有关。这意味着坐标R和r可以将这个问题分解成为两个独立的运动问题，从而使其得到简化。

8.3运动方程

利用拉格朗日（8.13），我们可以写出两体系统的运动方程。 L独立于R，因此R方程（实际上是三个方程，X，Y和Z各一个）比较简单。

M 或者 R=const. (8.14)

我们可以用以下几种方式来解释这个结果：首先，正如我们已经知道的，这是总动量守恒的直接结果。 或者，我们可以将其视为反映L独立于R，或者以7.6节中引入的术语来说，质心坐标R是“可忽略的”。 更具体地说， （仅与R有关）位于位置R的质量为M的自由质点的拉格朗日形式。因此，根据牛顿第一定律，质点作匀速运动。

相对坐标r的拉格朗日不那么简单但同样美观：，仅与r有关，在数学上，对于质量mu;和位置r的单个质点，具有势能U（R）。 因此，对应于r的拉格朗日就是（检查一下）

mu; (8.15)

为了求解相对运动，我们只需用牛顿第二定律，即质量为折合质量mu;，位置为r的单个质点，势能U（r）。

8.3.1质心相对坐标系

如果我们能够正确选择参照系，这个问题就更容易解决了。具体来说，因为=常量，我们可以选择一个惯性参考系，质心坐标系中质心处于静止状态，总动量为零。 在该坐标系中，= 0并且质心部分动量为零(= 0)。因此在质心坐标系中：

(8.16)

而这个问题确实简化为单体问题。 这种戏剧性的简化说明了“可忽略的坐标”这个奇怪的词汇。 回想上文所提到的内容，如果，则认为坐标是可忽略的。我们从中可以知晓，至少在当前情况下，与坐标R相关联的运动确实是可以忽略的。

我们需要时间考虑的是质心坐标系中的运动情况，如图8.3所示。 由于质心是静止的，我们把它作为原点。 两个质点都在运动，它们的动量大小相同，方向相反。 如果远大于（通常情况下），则质心位置更接近并且质点2的速度小于质点1的速度。（在图中，=3，因此=）此处我们需要注意，相对位置r是质点1相对于质点2的位置，而不是任一质点的实际位置。 如图所示，质点1的位置实际上是=（/M）r。 若gt;gt;，则质心位置非常接近质点2，质点2的运动速度几乎为0，并且； 也就是说，r与非常接近。

图8.3 质心坐标系中质心位于原点处并且静止

r是质心1与质心2的相对位置;因此，粒子1相对于原点的位置为= (/M)r 。

质心坐标系中的运动方程是由拉格朗日（8.15）和（8.16）导出的。这与固定中心力场中质量等于A的独立质点的势能U（r）的方程完全相同。在本章的方程中，质量mu;反复出现，表示方程适用于两个物体的相对运动。围绕固定力心轨道运行的质量为mu;的单个质点可能更容易想象，特别是在gt;gt;的情况下，这两个问题本质上完全相同。此外，如果研究对象是质量为m，围绕固定力心运动的单个物体，只需用m代替mu;，仍然可以使用相同的方程式。在任何情况下,现有解决方法都使用了运动质点1与质点2的相对坐标r (t)。同样，利用图8.3的关系，由r(t)方程可以得出粒子1(或粒子2)相对于质心的运动。

8.3.2角动量守恒

我们已经知道，两个质点的总角动量守恒。 和上述的许多其他概念相同，在质心坐标系中的形式也非常简单。 在任何坐标系中，总角动量为：

L=

= (8.17)

在质心坐标系中，我们从（8.9）（R = 0）可知：

= 和 = (8.18)

代入（8.17），我们可以得出质心坐标系中的角动量为：

L=

= (8.19)

此处我们用折合质量mu;来替代/M。

对于该结果我们可以发现质心坐标系中的总角动量与质量为mu;，位置为r的单个质点的角动量完全相同。 鉴于目前的研究对象，重要的一点是，由于角动量守恒，向量r xṙ是常数。 特别地，r xṙ的方向是恒定的，这意味着两个矢量r和ṙ保持在固定平面中。 也就是说，在质心坐标系中，整个运动保持在固定平面上，我们可以将其视为xy平面，因此，具有中心保守力的两体问题被简化为二维问题。

两个运动方程：

为了建立剩余二维问题的运动方程，我们需要选择运动平面上的坐标。显然，最佳选择是使用极坐标r和phi;，由(8.16)拉格朗日得：

L= (8.20)

由于该拉格朗日与phi;无关，因此坐标phi;是可忽略的，并且对应于phi;的拉格朗日是正确的。

=mu; (8.21)

由于mu;r^2phi;̇是角动量l（严格来说，z分量），因此phi;方程只是角动量守恒的一种陈述。

对应于r（通常称为径向方程）的拉格朗日是：

或者可以写为：

mu; (8.22)

正如我们在例7.2 [等式（7.19）和（7.20）]中所见，如果我们将

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