第四章 连续梁和刚架外文翻译资料
2021-12-13 10:12
英语原文共 22 页
第四章 连续梁和刚架
4.1.导言
4.2.连续梁
4.3.框架
4.4.框架的临界载荷
4.4.1.微分方程法
4.4.2.边坡挠度方程在框架稳定性
4.5.框架的稳定性矩阵分析
4.1.导言
在第一章中，构件支承方式被理想化为铰接、固结和自由。然而，实际框架结构中的构件通常是大框架的一部分，其端部往往是受到同一框架上的其他相邻构件弹性约束。在本章中，研究的对象将被扩大到整个框架结构。
在一个框架中，构件在节点处往往是刚性连接。因此，任何一个受压构件都不能独立于相邻构件产生屈曲。所以，通常有必要通过研究整个结构的稳定性，获得框架中一个或两个构件的临界荷载。
通过实验研究表明，当轴向受压构件受到轴力大于构件欧拉临界荷载的10%时，二阶分析的效果明显优于一阶分析的效果。
4.2.连续梁
上一章推导了考虑轴向力情况下的转角-位移方程.。本章将继续用这些方程来求解连续梁和刚性框架的弹性稳定问题。根据转角-位移方程：
当B端为铰接时，并且消除theta;b ，可得为：
式中：
其中称为屈曲参数。
应用Lrsquo;Hocirc;pitalrsquo;s准则，当beta;=0(或P=0)时，S1、S2和S3的限值分别为4、2和3。
例1:确定图4-1所示双跨连续梁柱的Pcr.：
图4-1双跨连续梁柱
图4-2节点B处的力矩平衡
AB跨：
BC跨：
由于theta;b=0，平衡方程是：
因此，方程可化为：
因为beta;1和beta;2是P的函数时，满足上述方程的P的最小值就是Pcr。
图4-3弹性约束双跨梁柱
例2确定图4-3所示结构的Pcr。
由于有两个未知数反：theta;b和delta;b，需要两个方程方可求得精确解。第一个方程是由力矩平衡得到的，根据节点B处的力矩平衡条件
考虑节点B处竖向力的平衡，可以得出一个附加方程。考虑图4-4所示的各跨的内力分析图和B处的节点平衡。
图4-4内力分析图
联立方程(4.2.4)和方程(4.2.7)，以及方程(4.2.5)和方程(4.2.6)，得到方程的一般形式:
令非平凡解(或稳定条件方程)的系数行列式为零，得到的方程是一个关于的超越方程，通过Maple或者二分法求得 beta; 的根，继而可以得到结构的临界荷载。
4.3.框架屈曲模态
首先要考虑框架的侧移是受到结构内部支承或者外部支承限制的。很明显，每个柱的上端都会受到梁的弹性约束，也就是说，柱的欧拉临界荷载不仅取决于柱的刚度，同时还取决于与其相连的梁的刚度。假设梁的刚度是完全刚性的或者是完全柔性的，这对于框架的屈曲模态的研究都是都是非常有意义的，因为这两种梁的刚度条件分别构成了连接刚度的上、下界。
假定框架梁的刚度为无穷大，也就是梁是无限刚性的，梁必然保持直线型，不会产生任何变形，但框架仍然会有变形，如图4-5(1)(a)所示。在这种情况下，柱的变形就类似两端固支情况下的变形，并且柱的欧拉临界荷载等于两端铰接的同型柱的欧拉临界荷载的四倍。在另一个极端情况下，假定梁的刚度为0，即梁是完全柔性的，则框架的变形就如同图4-5(1)(b)所示，柱的变形形式与柱顶铰接柱底刚接的同型柱一样，其临界载荷与支撑柱相同：大约等于固定在两端铰支柱的欧拉临界荷载的两倍
对于实际的框架，梁的刚度必然是介于上述两个极端情况之间的。在这样的框架中，柱的临界荷载必然满足下面的公式：
式中，Pcr为柱的临界载荷，PE是两端铰支的同型柱的欧拉临界荷载。
将这个逻辑应用到有侧移框架中也是有效的。如果假定框架梁的刚度为无穷大，也就是梁是无限刚性的，则框架以图4-5(1)(a)所示的方式产生弯曲。同时，根据定义，柱的上端允许发生平动，但是不允许出现转动。因此，框架中每一根柱的临界荷载都等于两端铰接的同型柱的欧拉临界荷载。在另一种极端情况下，假定梁的刚度为0，即梁是完全柔性的，那么框架变形如图4-5(1)(b)所示，允许柱的上端发生转动或者平动。在这种极端情况下，每个柱的变形就与悬臂柱的变形方式相同。柱的临界荷载等于两端铰接的同型柱的欧拉载荷的四分之一。则有侧移框架柱的欧拉临界荷载限值如下：
因此
图4-5屈曲模式
单层门式框架在没有支撑的情况下也是有侧移的，与完全不与允许出现侧移的支撑框架不同的。对于无支撑的单层门式框架，在图4-5所示的加载条件下，有无侧移在理论上是有可能的出现的。然而，没有支撑的框架将首先在最小的欧拉临界载荷下发生屈曲。这一结论即适用于多层框架，也适用于Bleich(1952)提出的单层框架。原因很明显，在无支撑框架中，由于框架构件之间的相互作用，受压构件的有效长度总是要大于实际长度，而在有支撑框架中，除非框架中的梁是完全柔性的，否则受压构件的有效长度总是小于实际长度。同样的结论也可以推广到等边三角形的屈曲问题，稍后将进行详细的分析、介绍。
4.4.框架的临界载荷
4.4.1.微分方程方法综述
在前一节中，对单层单跨门式刚架的屈曲特性进行了定性的分析。现在我们希望通过相邻平衡(中性平衡)来确定这种框架的欧拉临界荷载。根据框架是否有支撑构件，屈曲形式通常分为对称模式和反对称模式，通常应该首先考虑的是反对称模式。
本文假设在结构经典理论分析中常用的小位移线弹性假设是有效的。图4-6(a)和4-6(b)分别给出了荷载作用下结构可能产生的侧移变形形式和个结构构件上的内力。根据图4-6(c)所示的坐标系，左侧竖直构件在距离原点为x处的弯矩满足下式（忽略构件BC中连续剪切产生的弯矩）：
或者
式中：
方程(4.4.2)的通解为：
图4-6无支撑框架的屈曲
确定积分常数需要两个独立的边界条件A和B，他们分别为：
当x=0时，y=0，代入原方程解得：
当x=0时，yrsquo;=0，代入原方程解得：
因此
用delta;表示柱顶部（）的水平位移，然后：
由AB柱A端的力矩平衡条件：
通常假设点B和C的横向位移是相同的（构件BC 无轴向变形），因为在构件BC中的水平力(如果有的话)是小到可以忽略的。因此，在B处没有水平力，则构件AB受到的剪切力为零。将方程(4.4.6)代入方程(4.4.5)得
由于假定BC构件中不存在轴向压缩变形，因此适用无轴向力的转角-位移方程。因此：
由于theta;b=theta;c，并且它们基于图4-6(c)中所使用的坐标系是正的。方程(4.4.8)可化为
在节点B，要求式(4.4.9)中的theta;b等于式(4.4.4)在x=l1处的斜率。
因此，
或
方程(4.4.7)和(4.4.11)是解框架欧拉临界荷载所需的方程。通常，具有n个未知数的框架需要n个方程。但是，在这种情况下，由于两个垂直的构件的变形是相同的，所以只需要有两个未知数，即delta;和theta;b，而不是3个未知数(delta;，theta;b，theta;c)，那么两个方程就足够了。令系数行列式等于零，得：
框架的欧拉临界荷载就是是这个超越方程的最小根。其中：
方程(4.4.12)可化简为
通过Maple或二分法或任何其他超越方程的求解器求解得：
kl=2.71646
Pcr=
这符合方程(4.4.2)的预期结果：9.87EI/l2gt;7.38EI/l2gt;9.87EI/(4l2)
下一个要检验的例子是侧移受到内部支承或外部支承限制的门式刚架，如图4-7所示：
图4-7有支承的门式框架
首先验证图4-7(a)所示的对称屈曲。基于图4-7(a)所示的假定变形模式，在AB构件中会产生连续剪切。即：
因此，x轴中距离原点(节点A)距离为x的点的内力满足方程：
或者
式中：k12=P/EI1，方程(4.4.15)的通解为：
确定方程的精确解需要两个边界条件，A和B，分别是
当x=0时，y=0，代入原方程解得：
当x=0时，yrsquo;=0，代入原方程解得：
因此
由于假定构件AB的顶部不能产生横向移动，也就是在x=l1处，y=0，方程(4.4.17)，可化为：
应用转角-位移方程，假定由垂直构件产生的连续剪切所产生的轴向力不受任何内部的影响的通过内部支承构件或外部支承构件递给水平构件，即：
由于，由方程(4.4.19)得出;
按照图4-7(c)中规定的坐标系，节点B的转角位移应满足水平构件的theta;b等于竖向构件在顶部（x=l1）处的。这里需要注意的是，从方程(4.4.13)开始，上述推导均采用了Mba=Mbc条件。
化简为：
对于非平凡解，设置系数矩阵的行列式为零。由此得到的超越方程是：
在方程(4.4.22)里，令I1=I2=I，l1=l2=l，则得到的最小的根是：
kl=5.018
这个荷载比有侧移同型框架（7.34EI/l2）大得，这个临界载荷也满足式(4.4.1)的预期。
4.4.2.转角-位移方程在框架稳定中的应用
尽管上一节中所讨论的微分方程方法在理论上适用于任何框架，但实际上微分方程反非常复杂，特别是用于多个自由度的框架的计算。为了证明转角-位移方程的通用性，我们将重新讨论上面所研究的那个例子。
再次假定构件BC的轴向压缩可以忽略。因为，构件AB顶部节点处的弯矩为：
式中。
水平构件的弯矩是：
在如图4-7(a)所示的屈曲模式中，theta;c=-theta;b，式(4.4.24)可简化为：
由于在构件BC中没有轴向力,(S1)2=4和(S2)2=2。
根据节点B的弯矩平衡，Mba和Mbc在大小上是相同的，在符号上是相反的。因此：
由于I1=I2=I，l1=l2=l，方程(4.4.26)简化为：
解之得：
由式(4.4.28)可以得到临界荷载Pcr=25.18EI/l2，对于图4-7(b)所示的屈曲模式，theta;c=theta;b。通过将theta;b和theta;c做为未知自变量，可以进行推广分析。节点C的弯矩为：
根据节点B的力矩平衡条件可得：
从而，
同样，根据节点C的力矩平衡条件可得
从而
在稳定性条件下，给出了关于未知数theta;b和theta;c方程系数矩阵的行列式：资料编号：[5429]
