英语原文共 6 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

Applied Mathematics Letters 49 （2015） 67-72

Applied Mathematics Letters

www.elsevier.com/locate/aml

四阶三项式时滞微分方程的Kneser解

J. Džurina^lowast;, B. Baculiacute;kovaacute;, I. Jadlovskaacute;

斯洛伐克，04200科希策，Letna 9号，科希策科技大学，电气工程与信息学院，数学系

文章信息

文章历史：

收到于2015年3月6日

批准于2015年4月24日

2015年5月6日网上可见

关键词：

四阶泛函微分方程

Kneser解

时滞参数

比较定理

摘要

本文的目的是研究四阶线性时滞微分方程的渐进性质

(E)

我们应用适当的比较原理为（E）的所有解提出了新标准以成为Kneser解。得到的结果大体上简化了研究方程的检验。

copy;2015爱思唯尔有限公司保留所有权利。

1. 引言

我们来看一下有时滞参数的四阶三项式微分方程

(E)

我们假设：

,,,为正，，.,.

在方程(E)的解中，我们假设函数，，满足方程(E)属于。我们仅考虑对于所有的满足的(E)的解。我们假设(E)有这样一个解。若(E)的解在上有任意大的零点，则我们称该解为振动解，否则我们称该解为非振动解。

在过去的几十年中，界内人士广泛关注于微分方程的振动理论和渐进行为，相关文献也一直致力于这一课题的研究。若读者对这一领域有探究兴趣，我们推荐您阅读本文参考文献部分列出的[1-14]。

虽然二项微分方程的解的定性性质与(E)有关，即

,

而且文献中也有对其包含拟导数的各种泛化的广泛研究（例如，见[1,3,2]），但是对于(E)的渐进行为，我们就知之甚少了。到目前为止，各个文献对高阶三项式微分方程的原型的主要研究方面就是第一项和中项之间的导数的阶的差数是一或二。许多作者也研究了有偏差变元或无偏差变元的三阶三项式微分方程的相似问题，使用的方法与辅助二阶微分方程的解的振动性或非振动性有关。在参考文献[8]中，作者研究了三阶非线性泛函微分方程的渐进行为

.

我们启动这项工作的动机来源于Hou和Chengmin最近的研究，他们提出了对(E)使用类似的方法。此外，参考文献[10]中的作者最近也提出了Hou的主要定理的泛化，从而涵盖以下形式的更高阶三项式微分方程

.

本文的研究重点是（E）的所有解均为Kneser解的充分条件。我们的研究结果与参考文献[9]中获得的结果性质不同，他们利用了里卡蒂变换技术，且整个研究过程依赖于合适的比较原则。

2. 初步结果

首先，我们先展示一下(E)的可能的非振动解的结构。由于有中项，可能的非振动解的符号性质尚不明确。为克服这些困难，我们回想了Hou 的以下结论。

引理1 假设三阶微分方程

(Z)

有一个最终正增长的解。那么(E)的每个非振动解最终要么要么。

如果(E)的非振动解满足，那么我们称其为Kneser解。

通过应用著名的Kiguradze结果[11]，我们得出了(E)的非振动解的以下结构。

引理2 假设方程(Z)有一个最终正增长的解，那么(E)的每个最终正解要么是Kneser解，要么是满足

， ， ，，

或

， ， ，，

如果， ，那么为 阶。

由于辅助方程（Z）的性质在我们的构想中起着非常重要的作用，所以我们为（Z）的正增长解提出了充分条件。这一结果为Sturm的比较定理的推论。

引理3 假设

(2.1)

那么(Z)有一个正增长解。

3. 主要结果

我们采用比较技术以排空类别和，从而获得(E)的理想性质。我们的比较技术利用了一阶时滞微分方程的振动性。

我们令

.

定理1 令方程（Z）有一个正增长解且

()

假设一阶微分方程

()

有振动性。那么对于方程（E），类别为空。

证明 假设为方程（E）的最终正解，，。如果不是，则，表明，最终，且。把这些估计放到方程（E）里面，从t1到t积分，可得

.

令，我们获得的结果与()矛盾。

我们根据的单调性得知

.

由于，我们得知最终。重复这一过程，我们得到 ,. （3.1）

将（3.1）代入方程（E），得

将最后的不等式乘以，我们可以看到

为一阶时滞微分不等式

的正解。

因此，通过Philos定理[12]，我们得出结论，相应的微分方程（P1）也有一个正解，这与定理的假设矛盾。证明完整。

为排空类别，我们构想了双辅助函数,其中

,,.

我们表示为

,

.

定理2 令方程（Z）有一个正增长解，且

dt=

假设一阶微分不等式

无正解。那么对于方程（E），类别为空。

证明 假设为一阶方程（E）的正解。将方程（E）从t到infin;积分，并利用和的单调性，我们得到

.

再次重复这一过程，得到

(3.2)

另一方面，由的单调性得出

此外，类似于定理1的证明，我们得知条件表明,其基于以上不等式提供的

结合（3.2），我们得知是的一个正解。结果与假设矛盾，证明完整。

推论1 令方程有一个正增长解且保持不变。假设一阶微分方程

有振动性。则对于方程，类别为空。

证明 相反地假设为方程（E）的正解，。完全按照定理2的证明，我们得到是的一个正解，因此也是以下方程的一个解

.

但是通过Philos定理[12]，我们得出结论，相应的微分方程也有一个正解。矛盾。

回想一下我们之前的结果，我们获得了（E）的所有非振动解均为Kneser解的充分条件。

定理3 令方程（Z）有一个正增长解且和均保持不变。假设一阶微分方程（P1）和（P3）均具有震动性，则方程（E）的所有非振动解均为Kneser解。

考虑一下和的振动性的充分条件，我们可以很容易地获得方程（E）的Kneser解的可证标准。

推论2 令方程（Z）有一个正增长解且和均保持不变。假设

（C3）

且

, （C4）

则方程的所有非振动解均为Kneser解。

案例1 我们构想一个四阶时滞微分方程

. （Ex）

对于构想的方程（Ex），辅助方程（P1）有以下形式

正解。另一方面，对于任何的，容易证明条件（C1）和（C2）均始终正确。此外，简单计算表明

,.

推论2中的条件（C3）和（C4）分别减少至

（3.3）

和

. （3.4）

由于（3.3）可推出（3.4），我们通过推论2得出结论，只要（3.3）保持不变，方程的所有非振动解均为Kneser解。例，若，则.

4. 结论

在本文中，我们对最近的一项研究提出了后续研究，展示了一些针对线性三项微分方程的渐进行为的新结果。我们的标准采用了比较技术以确保的所有非振动解均为Kneser解。虽然在[9]中，作者研究了方程的每个Kneser解收敛于零的条件，但是Liang指出了主要定理的证明中的误述并得出了一个非常有力的条件

（4.1）

该条件必须满足。在此，我们强调，我们的研究结果提供了有关的渐进性质的信息，即使不能满足（4.1）。与已知结果相反，我们想要强调的是所提出的标准之一是直接取决于中间项的系数.

参考文献

[1]R. Agarwal,S.R.Grace,P.Wong, On the bounded oscillation of certain fourth order functional differential equations,Nonlinear Dyn.Syst. Theory 5(2005)215-227.

[2]E.Thandapani, S.Pandian,R, Dhanasekaran, J.Graef, Asymptotic results for a class of fourth order quasilinear difference equations,J.Difference Equ.Appl.13(2007)1085-1103.

[3]R.Agarwal, S.R.Grace, J.V.Manojlovic, Oscillation criteria for certain fourth order nonlinear functional differential equations, Math.Comput.Modelling 44(1)(2006)163-187.

[4]R.Agarwal, M.F.Aktas, A.Tiryaki, On oscillation criteria for third order nonlinear delay differential equations,Arch.Math.45(4)(2009)1-18.

[5]M.F.Aktas, A.Tiryaki, A.Zafer, Oscillation criteria for third-order nonlinear functional differential equations,Appl.Math.Lett.7(2010)756-762.

[6]B.Baculikovaacute;, J.Džurina, Comparison theorems for the third-order delay trinomial differential equtions,Adv.Difference Equ.2010(2010)1-9.

[7]M,Cecchi, Z.Oscaron;laacute;, M.Marini, On third order differential equations with property A and B,J.Math.Appl.231 (1999)509-525.

[8]A.Tiryaki, M.F.Aktaş, Oscillation criteria of a certain class ot third order nonlinear delay differential equations with damping,J.Math.Anal.Appl.325(2007)54-68.Zbl 1110.34048.

[9]Ch.Hou, S.S.Chengmin, Asymptotic dichotomy in a class of fourth-order nonlinear delay differential equatio

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

资料编号：[25460]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word