1．目的及意义

微分方程在数学、物理以及其他领域的研究中有着举足轻重的作用,同时在实际的生活中存在着广泛的应用。恩格斯说过“只有微分学才使得自然科学不仅能用数学来表明状态，而且也能用数学来表明过程，即运动。”常微分方程源于对物体运动过程的研究，它的雏形甚至比微积分的发明还要早。像纳皮尔发明对数，伽利略研究自由落体运动，笛卡儿在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等，都是建立和求解常微分方程的过程。常微分方程在自然科学和社会科学领域如力学、物理、 生物、 地学、机械工程、 通讯工程、航空航天及经济学等中都有着广泛的应用。最初我们主要关注微分方程的研究，将其作为数学建模的主要工具。大多数物理、工程科学、生物数学等领域的数学建模都会产生非线性微分方程。如何求解数学建模中产生的微分方程问题成了许多数学家研究的重要课题。一些特殊型方程可以进行积分，用传统的特定方法解析得到，比如求解常微分方程的一些经典方法有变量分离法，Laplace变换法，常数变易法，积分因子法，降阶法，待定系数法等。但是在一般情况下，我们还是不能使用这些方法求得所有微分方程的解。

然而，由微分方程刻画的基本自然规律和技术问题可以由李群分析方法成功地处理并解决。微分方程群分析是由索菲斯·李在19世纪末创造，而在20世纪60年代有着惊人的突破。微分方程群分析是用来寻找非线性微分方程的对称性，从而获得精确解来准确描述复杂自然现象。为获得非线性微分方程解，沿袭简单线性叠加原理是不可以的。李群和李代数有着广泛的应用，它和其他的现代分析方法一起，是求解非线性微分方程的解析解的重要工具。

李群分析方法是通过寻找方程的对称来研究方程的相关问题。 当提到 “对称”这两个字时，相信大家很容易与“美”、“和谐”联系起来，比如，蝴蝶左右翅膀的对称，一方面给人们带来视觉上的惊艳，另一方面，也是蝴蝶生存的需要；时钟的对称既美观又保证了走时的均匀性。因此，“对称”的事物总是能给人们带来美与和谐。在传统观念上，人们可能认为“对称”仅与艺术、文化这些领域相关，实际上，在数学、物理等领域也存在着对称，比如众所周知的数学上的“对称图形”。从更深层次的方面来说，在复杂的非线性科学上可以用对称理论来研究微分方程，下面我们来介绍对称理论。

对称理论是由挪威数学家Sophus Lie和德国的几何学家Felix Klein开始研究的，他们致力于寻找这样一种变换群，在这种变换群的作用下，方程能保持形式不变。在19世纪70年代，Sophus Lie提出了连续群的概念，也就是现在的李群，从而开始了李群理论的研究。在李群理论中，李提出并详细介绍了微分方程对称性的数学工具，从此，对称的概念促进了很多以数学为基础的学科的发展。目前，李群理论已经广泛应用到数学、物理学、工程学等各个学科，包括不变理论、控制理论、数值分析、代数拓扑、微分几何这些数学领域以及相对论、经典力学、量子力学等物理方面。

李群被提出的初衷是对常微分方程的各种不同解法进行统一和扩充。Lie的工作也确实提供了研究微分方程的统一方法。就常微分方程来讲，利用李变换群，可以在一定条件下将非线性常微分方程线性化，将高阶方程降低阶数，甚至有可能进行完全积分。如果能利用对称方法找到具有物理意义的解，就可以利用该解来更好地了解一般解的物理性质。

李对称理论的研究存在一定的局限性，运用这种方法需要大量的符号计算，这就说明会受到计算能力的限制，这也是在很长一段时间李群理论没有得到重视的原因。例如，寻找一个微分方程的对称群就需要进行大量的符号运算。在利用严格的方法来寻找对称群时，可以得到一个关于对称群的确定方程(组)，通过求解这个确定方程(组)得到方程的对称群。这里值得注意的是，整个过程要进行大量的符号运算，因此必须要借助符号计算能力强大的软件，比如Maple这一计算机软件。

李对称的分析方法提供了获得微分方程的精确解或相似解的一种系统和精确的途径。此外，通过李对称技巧获得的群不变解可以对物理模型本身进行深邃的解释，同时这些精确解也可用于检验数值计算结果的正确性和精度。总之，李对称方法在微分方程中的研究起着非常重要的作用。

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2. 研究的基本内容与方案

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基本内容

如果用准确的微分方程来描述复杂自然现象，那么该方程及其解必然存在着完整性和对称性。由本文的目的及意义已知，微分方程群分析是用来寻找非线性微分方程的对称性，从而获得精确解来准确描述复杂自然现象的方法。为获得非线性微分方程的解，沿用线性叠加原理已无效，新的工具——李群、李代数结合其它的分析方法，成为求解非线性微分方程解析解的重要工具。利用李群理论来研究微分方程，关键是寻找方程所允许的对称，对称的体现形式是无穷小生成元。利用经典李群方法可以得到仅依赖方程的自变量和因变量的无穷小生成元，称为李点对称，李点对称不涉及因变量对自变量的积分和导数。